Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto solução do sistema linear homogêneo
é um subespaço vetorial.
II.
é subespaço vetorial.
III. O núcleo de uma reflexão não é subespaço vetorial
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I. O conjunto solução do sistema linear homogêneo
II.
III. O núcleo de uma reflexão não é subespaço vetorial
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
São dadas três afirmativas e é preciso dizer quais são verdadeiras:
I. O conjunto solução do sistema linear homogêneoé um subespaço vetorial.
II.é subespaço vetorial.
III. O núcleo de uma reflexão não é subespaço vetorial. -
A pergunta do exercício é: quais dessas afirmativas são verdadeiras? (Escolher a alternativa correta entre as opções fornecidas.)
Passo 2
O que significa ser subespaço vetorial? Vou explicar de forma direta e prática.
-
Definição prática: um subconjunto
de um espaço vetorial (por exemplo ) é subespaço vetorial se e só se: -
contém o vetor nulo . - Sempre que
e estão em , o somatório também está em (fechamento por adição). - Sempre que
está em e é escalar real, também está em (fechamento por multiplicação por escalar).
-
-
Observações intuitivas:
- Se qualquer uma dessas três propriedades falhar (por exemplo, se o conjunto não contiver
), então não é subespaço. - Mostrar que algo é subespaço normalmente se faz verificando essas propriedades; mostrar que não é subespaço basta dar um contraexemplo (por exemplo, mostrar que
não pertence ou que não é fechado por escalares).
- Se qualquer uma dessas três propriedades falhar (por exemplo, se o conjunto não contiver
Passo 3
Análise da afirmativa I.
- O conjunto solução do sistema homogêneo
é exatamente o núcleo (nullspace) da transformação linear representada por . Denotemos este conjunto por - Verifico as três propriedades de subespaço:
- O vetor nulo está no conjunto porque
. - Se
, então . Logo . - Se
e , então . Logo .
- O vetor nulo está no conjunto porque
- Conclusão:
satisfaz as três propriedades, portanto é subespaço vetorial.
Comentário amigável: fica tranquilo — o núcleo de qualquer transformação linear é sempre um subespaço; é uma propriedade padrão.
Passo 4
Análise da afirmativa II.
-
O conjunto é
. Note que a equação contém um termo constante . -
Teste simples: verificar se o vetor nulo
pertence. Substituindo na relação, o lado direito é , então exigir para . Como no vetor nulo , temos . -
Pelo critério do Passo 2, a ausência do vetor nulo já basta para concluir que não é subespaço vetorial.
-
Um contraexemplo explícito de falha de fechamento por escalares: o vetor
pertence ao conjunto porque e . Mas não pertence, pois para a condição exigiria , e . Logo não é fechado por multiplicação por escalar. -
Intuição: esse conjunto é um plano afim (uma tradução de um plano que não passa pela origem). Planos afins só são subespaços se passarem pela origem; aqui não passa, então não é subespaço.
Passo 5
Análise da afirmativa III.
- Primeiro, o que é o “núcleo de uma reflexão”? Interpretação padrão: uma reflexão linear
(por exemplo reflexão em relação a um subespaço que passa pela origem) é uma transformação linear com propriedade e que é invertível. O núcleo é . - Propriedade útil: se uma transformação linear é invertível, seu núcleo é somente o vetor nulo
. Reflexões lineares são invertíveis (a própria reflexão é sua inversa: ), então . - Verificação direta simples: se
então aplicando de novo, então . Assim o único vetor do núcleo é . - O conjunto
é um subespaço vetorial (o subespaço trivial). - Exemplo concreto: reflexão em relação ao eixo
em tem matriz Resolver dá só . Logo o núcleo é subespaço. - Conclusão: a afirmativa “o núcleo de uma reflexão não é subespaço vetorial” é falsa; na verdade o núcleo é um subespaço (pelo menos o subespaço trivial).]
Passo 6
Resumo das avaliações das afirmativas:
- I é verdadeira.
- II é falsa.
- III é falsa.
Portanto, apenas a afirmativa I é verdadeira.
Resposta
(B) Só I é verdadeira.