Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.
II. \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=2 y+2\right\} é subespaço vetorial.
III. O núcleo de uma reflexão não é subespaço vetorial
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • São dadas três afirmativas e é preciso dizer quais são verdadeiras:
    I. O conjunto solução do sistema linear homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.
    II. \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z=2y+2\right\} é subespaço vetorial.
    III. O núcleo de uma reflexão não é subespaço vetorial.
  • A pergunta do exercício é: quais dessas afirmativas são verdadeiras? (Escolher a alternativa correta entre as opções fornecidas.)

Passo 2

O que significa ser subespaço vetorial? Vou explicar de forma direta e prática.
  • Definição prática: um subconjunto W de um espaço vetorial V (por exemplo V=\mathbb{R}^n) é subespaço vetorial se e só se:
    1. W contém o vetor nulo \overrightarrow{0}.
    2. Sempre que \vec{u} e \vec{v} estão em W, o somatório \vec{u}+\vec{v} também está em W (fechamento por adição).
    3. Sempre que \vec{u} está em W e c é escalar real, c\vec{u} também está em W (fechamento por multiplicação por escalar).
  • Observações intuitivas:
    • Se qualquer uma dessas três propriedades falhar (por exemplo, se o conjunto não contiver \overrightarrow{0}), então não é subespaço.
    • Mostrar que algo é subespaço normalmente se faz verificando essas propriedades; mostrar que não é subespaço basta dar um contraexemplo (por exemplo, mostrar que \overrightarrow{0} não pertence ou que não é fechado por escalares).

Passo 3

Análise da afirmativa I.
  • O conjunto solução do sistema homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} é exatamente o núcleo (nullspace) da transformação linear representada por A. Denotemos este conjunto por \ker(A)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^n\mid A\vec{x}=\overrightarrow{0}\}.
  • Verifico as três propriedades de subespaço:
    1. O vetor nulo está no conjunto porque A\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.
    2. Se \vec{u},\vec{v}\in\ker(A), então A(\vec{u}+\vec{v})=A\vec{u}+A\vec{v}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}. Logo \vec{u}+\vec{v}\in\ker(A).
    3. Se \vec{u}\in\ker(A) e c\in\mathbb{R}, então A(c\vec{u})=cA\vec{u}=c\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}. Logo c\vec{u}\in\ker(A).
  • Conclusão: \ker(A) satisfaz as três propriedades, portanto é subespaço vetorial.
Comentário amigável: fica tranquilo — o núcleo de qualquer transformação linear é sempre um subespaço; é uma propriedade padrão.

Passo 4

Análise da afirmativa II.
  • O conjunto é \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid z=2y+2\}. Note que a equação contém um termo constante +2.
  • Teste simples: verificar se o vetor nulo \overrightarrow{0}=(0,0,0) pertence. Substituindo y=0 na relação, o lado direito é 2\cdot 0+2=2, então exigir z=2 para y=0. Como no vetor nulo z=0\neq 2, temos \overrightarrow{0}\notin\{(x,y,z)\mid z=2y+2\}.
  • Pelo critério do Passo 2, a ausência do vetor nulo já basta para concluir que não é subespaço vetorial.
  • Um contraexemplo explícito de falha de fechamento por escalares: o vetor \vec{v}=(0,0,2) pertence ao conjunto porque z=2 e 2=2\cdot 0+2. Mas \tfrac{1}{2}\vec{v}=(0,0,1) não pertence, pois para y=0 a condição exigiria z=2, e 1\neq 2. Logo não é fechado por multiplicação por escalar.
  • Intuição: esse conjunto é um plano afim (uma tradução de um plano que não passa pela origem). Planos afins só são subespaços se passarem pela origem; aqui não passa, então não é subespaço.

Passo 5

Análise da afirmativa III.
  • Primeiro, o que é o “núcleo de uma reflexão”? Interpretação padrão: uma reflexão linear R (por exemplo reflexão em relação a um subespaço que passa pela origem) é uma transformação linear com propriedade R^2=I e que é invertível. O núcleo é \ker(R)=\{\vec{v}\mid R(\vec{v})=\overrightarrow{0}\}.
  • Propriedade útil: se uma transformação linear é invertível, seu núcleo é somente o vetor nulo \{\overrightarrow{0}\}. Reflexões lineares são invertíveis (a própria reflexão é sua inversa: R^{-1}=R), então \ker(R)=\{\overrightarrow{0}\}.
  • Verificação direta simples: se R(\vec{v})=\overrightarrow{0} então aplicando R de novo, \vec{v}=R^2(\vec{v})=R(R(\vec{v}))=R(\overrightarrow{0})=\overrightarrow{0},então \vec{v}=\overrightarrow{0}. Assim o único vetor do núcleo é \overrightarrow{0}.
  • O conjunto \{\overrightarrow{0}\} é um subespaço vetorial (o subespaço trivial).
  • Exemplo concreto: reflexão em relação ao eixo x em \mathbb{R}^2 tem matriz R=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}.Resolver R\vec{v}=\overrightarrow{0} dá só \vec{v}=\overrightarrow{0}. Logo o núcleo é subespaço.
  • Conclusão: a afirmativa “o núcleo de uma reflexão não é subespaço vetorial” é falsa; na verdade o núcleo é um subespaço (pelo menos o subespaço trivial).]

Passo 6

Resumo das avaliações das afirmativas:
  • I é verdadeira.
  • II é falsa.
  • III é falsa.
Portanto, apenas a afirmativa I é verdadeira.

Resposta

(B) Só I é verdadeira.

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