Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I.
é subespaço vetorial.
II. A imagem de uma reflexão é subespaço vetorial
III. O conjunto solução do sistema linear homogêneo
é um subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I.
II. A imagem de uma reflexão é subespaço vetorial
III. O conjunto solução do sistema linear homogêneo
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá três afirmativas e pede para identificar quais são verdadeiras (escolher a alternativa correta). As afirmativas são:
I.
é subespaço vetorial.
II. A imagem de uma reflexão é subespaço vetorial.
III. O conjunto solução do sistema linear homogêneo
é um subespaço vetorial.
O objetivo: decidir, para cada uma das afirmativas I, II e III, se é verdadeira ou falsa, e então escolher a opção da múltipla escolha correspondente.
Passo 2
Relembrando a definição prática de subespaço vetorial (essa é a ferramenta que vamos usar para testar cada afirmativa): seja
um espaço vetorial (por exemplo
). Um subconjunto
é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades simples:
-
não é vazio (equivalente: contém o vetor zero ). - Fechado sob adição: se
e então . - Fechado sob multiplicação por escalar: se
e então .
Esses três itens são suficientes para garantir que
herda todas as propriedades de espaço vetorial. Na prática, a maneira mais rápida muitas vezes é verificar se o vetor zero pertence a
; se não pertence, então
não é subespaço. Se pertence, então verificar propriedades 2 e 3 (ou usar argumentos padrão, como “imagem de transformação linear é subespaço”, etc.).
Passo 3
Analisando a afirmativa I:
.
Primeiro teste rápido: verificar se o vetor zero
pertence ao conjunto. Substituindo
na equação que define o conjunto obtemos
. Portanto
não satisfaz
porque
. Logo o vetor zero não pertence ao conjunto. Conclusão imediata: o conjunto não é subespaço vetorial (pois violou a propriedade 1).
Para reforçar com um contraexemplo de fechamento por escalares: note que
satisfaz a equação (
), logo
pertence ao conjunto. Se multiplicarmos por escalar
temos
, que não pertence ao conjunto. Assim a propriedade de fechamento sob multiplicação por escalares falha também. Portanto a afirmativa I é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmativa II: “A imagem de uma reflexão é subespaço vetorial.”
Primeiro, preciso explicar qual interpretação vou usar: em álgebra linear, por “reflexão” costuma-se entender uma reflexão ortogonal em relação a um subespaço que passa pela origem (por exemplo reflexão em relação a uma reta ou plano que contém a origem). Essa reflexão é uma transformação linear
. Escolho essa interpretação porque estamos em contexto de teoria de espaços vetoriais e transformações lineares; é a interpretação padrão em disciplina de Álgebra Linear. (Se a reflexão fosse uma reflexão afim cujo eixo não passa pela origem, então a transformação não seria linear; neste contexto a afirmação teria outra leitura — mas a opção natural para o problema de prova é a reflexão linear.)
Agora a ferramenta-teórica: uma propriedade fundamental é que a imagem (ou alcance) de qualquer aplicação linear
é sempre um subespaço de
. A prova curta desse fato é: se
e
pertencem à imagem de
, então
, que também pertence à imagem; e para
tem-se
, que está na imagem; e
garante que a imagem contém o vetor zero. Assim imagem de transformação linear é subespaço.
Como a reflexão linear
é uma transformação linear, a sua imagem é subespaço vetorial. Além disso, reflexões lineares típicas são inversíveis (são bijetivas), então sua imagem é todo o espaço
, que certamente é um subespaço. Portanto, sob a interpretação linear, a afirmativa II é verdadeira.
Passo 5
Analisando a afirmativa III: “O conjunto solução do sistema linear homogêneo
é um subespaço vetorial.”
Esse conjunto é exatamente o núcleo (ou espaço nulo) da transformação linear
. Há um argumento padrão para mostrar que o núcleo é subespaço: o vetor zero satisfaz
, então
está no conjunto; se
e
satisfazem
e
, então
, logo
também está no conjunto; e para qualquer
,
, logo
também está no conjunto. Assim o conjunto solução do sistema homogêneo é fechado sob soma e multiplicação por escalar e contém o vetor zero, ou seja é subespaço vetorial. Portanto a afirmativa III é verdadeira.
Passo 6
Resumo das decisões:
- I é falsa (o conjunto definido por
não contém o vetor zero). - II é verdadeira (imagem de uma reflexão linear é imagem de transformação linear, logo subespaço; de fato muitas reflexões são bijetivas, então imagem é todo o espaço).
- III é verdadeira (soluções de
formam o núcleo de , um subespaço).
Portanto as afirmativas verdadeiras são II e III.
Resposta
G