Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=3 y+3\right\} é subespaço vetorial.
II. A imagem de uma reflexão é subespaço vetorial
III. O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá três afirmativas e pede para identificar quais são verdadeiras (escolher a alternativa correta). As afirmativas são:
I. \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=3y+3\} é subespaço vetorial.
II. A imagem de uma reflexão é subespaço vetorial.
III. O conjunto solução do sistema linear homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.
O objetivo: decidir, para cada uma das afirmativas I, II e III, se é verdadeira ou falsa, e então escolher a opção da múltipla escolha correspondente.

Passo 2

Relembrando a definição prática de subespaço vetorial (essa é a ferramenta que vamos usar para testar cada afirmativa): seja V um espaço vetorial (por exemplo \mathbb{R}^n). Um subconjunto S\subseteq V é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades simples:
  1. S não é vazio (equivalente: contém o vetor zero \overrightarrow{0}).
  2. Fechado sob adição: se u\in S e v\in S então u+v\in S.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: se u\in S e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in S.
Esses três itens são suficientes para garantir que S herda todas as propriedades de espaço vetorial. Na prática, a maneira mais rápida muitas vezes é verificar se o vetor zero pertence a S; se não pertence, então S não é subespaço. Se pertence, então verificar propriedades 2 e 3 (ou usar argumentos padrão, como “imagem de transformação linear é subespaço”, etc.).

Passo 3

Analisando a afirmativa I: \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=3y+3\}.
Primeiro teste rápido: verificar se o vetor zero \overrightarrow{0}=(0,0,0) pertence ao conjunto. Substituindo y=0 na equação que define o conjunto obtemos z=3\cdot 0+3=3. Portanto (0,0,0) não satisfaz z=3y+3 porque 0\neq 3. Logo o vetor zero não pertence ao conjunto. Conclusão imediata: o conjunto não é subespaço vetorial (pois violou a propriedade 1).
Para reforçar com um contraexemplo de fechamento por escalares: note que (0,0,3) satisfaz a equação ( z=3\cdot0+3=3), logo (0,0,3) pertence ao conjunto. Se multiplicarmos por escalar 0 temos 0\cdot(0,0,3)=(0,0,0), que não pertence ao conjunto. Assim a propriedade de fechamento sob multiplicação por escalares falha também. Portanto a afirmativa I é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmativa II: “A imagem de uma reflexão é subespaço vetorial.”
Primeiro, preciso explicar qual interpretação vou usar: em álgebra linear, por “reflexão” costuma-se entender uma reflexão ortogonal em relação a um subespaço que passa pela origem (por exemplo reflexão em relação a uma reta ou plano que contém a origem). Essa reflexão é uma transformação linear R:V\to V. Escolho essa interpretação porque estamos em contexto de teoria de espaços vetoriais e transformações lineares; é a interpretação padrão em disciplina de Álgebra Linear. (Se a reflexão fosse uma reflexão afim cujo eixo não passa pela origem, então a transformação não seria linear; neste contexto a afirmação teria outra leitura — mas a opção natural para o problema de prova é a reflexão linear.)
Agora a ferramenta-teórica: uma propriedade fundamental é que a imagem (ou alcance) de qualquer aplicação linear T:V\to W é sempre um subespaço de W. A prova curta desse fato é: se u=T(x) e v=T(y) pertencem à imagem de T, então u+v=T(x)+T(y)=T(x+y), que também pertence à imagem; e para \alpha\in\mathbb{R} tem-se \alpha u=\alpha T(x)=T(\alpha x), que está na imagem; e T(0)=0 garante que a imagem contém o vetor zero. Assim imagem de transformação linear é subespaço.
Como a reflexão linear R é uma transformação linear, a sua imagem é subespaço vetorial. Além disso, reflexões lineares típicas são inversíveis (são bijetivas), então sua imagem é todo o espaço V, que certamente é um subespaço. Portanto, sob a interpretação linear, a afirmativa II é verdadeira.

Passo 5

Analisando a afirmativa III: “O conjunto solução do sistema linear homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.”
Esse conjunto é exatamente o núcleo (ou espaço nulo) da transformação linear T(\vec{x})=A\vec{x}. Há um argumento padrão para mostrar que o núcleo é subespaço: o vetor zero satisfaz A\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}, então \overrightarrow{0} está no conjunto; se u e v satisfazem Au=\overrightarrow{0} e Av=\overrightarrow{0}, então A(u+v)=Au+Av=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}, logo u+v também está no conjunto; e para qualquer \alpha\in\mathbb{R}, A(\alpha u)=\alpha(Au)=\alpha\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}, logo \alpha u também está no conjunto. Assim o conjunto solução do sistema homogêneo é fechado sob soma e multiplicação por escalar e contém o vetor zero, ou seja é subespaço vetorial. Portanto a afirmativa III é verdadeira.

Passo 6

Resumo das decisões:
  • I é falsa (o conjunto definido por z=3y+3 não contém o vetor zero).
  • II é verdadeira (imagem de uma reflexão linear é imagem de transformação linear, logo subespaço; de fato muitas reflexões são bijetivas, então imagem é todo o espaço).
  • III é verdadeira (soluções de A\vec{x}=\overrightarrow{0} formam o núcleo de A, um subespaço).
Portanto as afirmativas verdadeiras são II e III.

Resposta

G

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