Q11: Considere o subespaço
definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de
(complemento ortogonal de
)?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado nos dá o subespaço
gerado por três vetores:
A pergunta é: qual dos conjuntos listados nas alternativas é uma base de
(o complemento ortogonal de
)?
Passo 2
Primeiro é útil ver se os geradores de
são independentes ou não (isso diz a dimensão de
e, por consequência, a dimensão de
). Vou verificar relações lineares entre
.
Calculo
e
:
Somando
com
obtenho
Logo existe a relação linear
portanto
é combinação linear de
e
. Conclusão:
, ou seja
. Em
vale
, então
Portanto
é um subespaço de dimensão
; uma base de
deve ter exatamente dois vetores linearmente independentes.
Passo 3
Agora vou caracterizar
resolvendo as equações de ortogonalidade. Seja
. Então devemos ter
Escrevendo as duas equações:
Das equações obtemos duas relações simples. Da primeira:
Da segunda:
Igualando as duas expressões para
temos
, logo
Portanto os componentes de
satisfazem
enquanto
fica livre (nenhuma equação envolve
). Assim o vetor geral de
é
Isto mostra explicitamente que
e confirma
.
Comentário amigável: então toda vetor em
tem a forma
com
. Isso é a coisa prática que usamos para checar as alternativas.
Passo 4
Agora verifico quais alternativas fornecem vetores que pertencem a
e se formam um conjunto de dois vetores linearmente independentes (quando a alternativa tem dois vetores).
Regra prática: um vetor
pertence a
se e somente se
e
.
Vou checar cada alternativa rapidamente:
-
(A)
: aqui então mas . Logo não está em . -
(B)
: aqui , e . Como isso satisfaz; o vetor pertence a . Mas é apenas um vetor isolado; como , um único vetor não forma base. -
(C)
: o primeiro tem e , — pertence a . O segundo tem e — não pertence. Portanto o conjunto não está contido em . -
(D)
: já vimos que ambos vetores individualmente satisfazem a condição ( e ), logo ambos estão em . Resta verificar que são linearmente independentes. Escrevendo-os em termos da base encontrada:
As matrizes de coordenadas (colunas) relativas à base
são
O determinante é
, logo as colunas (os vetores) são linearmente independentes. Como estão em
e são duas, formam uma base de
.
-
(E)
: nenhum dos dois satisfaz a condição (já chequei variantes similares), então falha. -
(F)
: esse vetor não pertence a (e além disso é só um vetor). -
(G)
: esse único vetor pertence a mas é apenas um vetor (não gera o espaço de dimensão ). -
(H)
: o primeiro não pertence a , então o conjunto falha.
Portanto a única alternativa que fornece dois vetores que estão em
e são independentes é a alternativa (D).]
Resposta
(D)