Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por:
H=\operatorname{span}\{(0,-3,1,0),(0,0,-1,3),(0,-12,8,-12)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(2,-2,2,2)\}
(B) \{(2,1,3,1)\}
(C) \{(-2,4,12,4),(2,-3,4,4)\}
(D) \{(-2,4,12,4),(2,1,3,1)\}
(E) \{(2,-2,2,2),(2,-3,4,4)\}
(F) \{(2,-3,4,4)\}
(G) \{(-2,4,12,4)\}
(H) \{(2,-2,2,2),(2,1,3,1)\}

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} gerado por três vetores:
v_{1}=(0,-3,1,0),\qquad v_{2}=(0,0,-1,3),\qquad v_{3}=(0,-12,8,-12).
A pergunta é: qual dos conjuntos listados nas alternativas é uma base de H^{\perp} (o complemento ortogonal de H)?

Passo 2

Primeiro é útil ver se os geradores de H são independentes ou não (isso diz a dimensão de H e, por consequência, a dimensão de H^{\perp}). Vou verificar relações lineares entre v_{1},v_{2},v_{3}.
Calculo 4v_{1} e 4v_{2}:
4v_{1}=(0,-12,4,0),\qquad 4v_{2}=(0,0,-4,12).
Somando 4v_{1} com -4v_{2} obtenho
4v_{1}-4v_{2}=(0,-12,4,0)-(0,0,-4,12)=(0,-12,8,-12)=v_{3}.
Logo existe a relação linear
v_{3}=4v_{1}-4v_{2},
portanto v_{3} é combinação linear de v_{1} e v_{2}. Conclusão: H=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}, ou seja \dim(H)=2. Em \mathbb{R}^{4} vale \dim(H)+\dim(H^{\perp})=4, então
\dim(H^{\perp})=4-2=2.
Portanto H^{\perp} é um subespaço de dimensão 2; uma base de H^{\perp} deve ter exatamente dois vetores linearmente independentes.

Passo 3

Agora vou caracterizar H^{\perp} resolvendo as equações de ortogonalidade. Seja x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in H^{\perp}. Então devemos ter
x\cdot v_{1}=0,\qquad x\cdot v_{2}=0.
Escrevendo as duas equações:
x\cdot v_{1}=0\cdot x_{1}+(-3)x_{2}+1\cdot x_{3}+0\cdot x_{4}=-3x_{2}+x_{3}=0,
x\cdot v_{2}=0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+(-1)x_{3}+3x_{4}=-x_{3}+3x_{4}=0.
Das equações obtemos duas relações simples. Da primeira:
-3x_{2}+x_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=3x_{2}.
Da segunda:
-x_{3}+3x_{4}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=3x_{4}.
Igualando as duas expressões para x_{3} temos 3x_{2}=3x_{4}, logo
x_{2}=x_{4}.
Portanto os componentes de x satisfazem
x_{3}=3x_{2},\qquad x_{4}=x_{2},
enquanto x_{1} fica livre (nenhuma equação envolve x_{1}). Assim o vetor geral de H^{\perp} é
x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(x_{1},x_{2},3x_{2},x_{2})=x_{1}(1,0,0,0)+x_{2}(0,1,3,1).
Isto mostra explicitamente que
H^{\perp}=\operatorname{span}\{(1,0,0,0),(0,1,3,1)\},
e confirma \dim(H^{\perp})=2.
Comentário amigável: então toda vetor em H^{\perp} tem a forma (a,b,3b,b) com a,b\in\mathbb{R}. Isso é a coisa prática que usamos para checar as alternativas.

Passo 4

Agora verifico quais alternativas fornecem vetores que pertencem a H^{\perp} e se formam um conjunto de dois vetores linearmente independentes (quando a alternativa tem dois vetores).
Regra prática: um vetor (\alpha,\beta,\gamma,\delta) pertence a H^{\perp} se e somente se \gamma=3\beta e \delta=\beta.
Vou checar cada alternativa rapidamente:
  • (A) (2,-2,2,2): aqui \beta=-2 então 3\beta=-6 mas \gamma=2\neq-6. Logo não está em H^{\perp}.
  • (B) (2,1,3,1): aqui \beta=1, 3\beta=3 e \delta=1. Como \gamma=3 isso satisfaz; o vetor pertence a H^{\perp}. Mas é apenas um vetor isolado; como \dim(H^{\perp})=2, um único vetor não forma base.
  • (C) \{(-2,4,12,4),(2,-3,4,4)\}: o primeiro (-2,4,12,4) tem \beta=4 e \gamma=12=3\cdot4, \delta=4 — pertence a H^{\perp}. O segundo (2,-3,4,4) tem \beta=-3 e 3\beta=-9\neq4 — não pertence. Portanto o conjunto não está contido em H^{\perp}.
  • (D) \{(-2,4,12,4),(2,1,3,1)\}: já vimos que ambos vetores individualmente satisfazem a condição ( 4\mapsto12,4 e 1\mapsto3,1), logo ambos estão em H^{\perp}. Resta verificar que são linearmente independentes. Escrevendo-os em termos da base encontrada:
    (-2,4,12,4)=-2(1,0,0,0)+4(0,1,3,1),
(2,1,3,1)=2(1,0,0,0)+1(0,1,3,1).
As matrizes de coordenadas (colunas) relativas à base \{(1,0,0,0),(0,1,3,1)\} são
\begin{pmatrix}-2 & 2\\[4pt] 4 & 1\end{pmatrix}.
O determinante é (-2)\cdot1-2\cdot4=-2-8=-10\neq0, logo as colunas (os vetores) são linearmente independentes. Como estão em H^{\perp} e são duas, formam uma base de H^{\perp}.
  • (E) \{(2,-2,2,2),(2,-3,4,4)\}: nenhum dos dois satisfaz a condição (já chequei variantes similares), então falha.
  • (F) \{(2,-3,4,4)\}: esse vetor não pertence a H^{\perp} (e além disso é só um vetor).
  • (G) \{(-2,4,12,4)\}: esse único vetor pertence a H^{\perp} mas é apenas um vetor (não gera o espaço de dimensão 2).
  • (H) \{(2,-2,2,2),(2,1,3,1)\}: o primeiro não pertence a H^{\perp}, então o conjunto falha.
Portanto a única alternativa que fornece dois vetores que estão em H^{\perp} e são independentes é a alternativa (D).]

Resposta

(D)

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