Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. O complemento ortogonal de span \{\vec{u}, \vec{v}\}, \operatorname{com}\{\vec{u}, \vec{v}\} LD, não é subespaço vetorial.
II. O conjunto solução do sistema A \vec{x}=\vec{b}, onde \vec{b} \neq \overrightarrow{0} é subespaço vetorial.
III. \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=2 x-2 y\right\} não é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede, para não nos perdermos:
  • Temos três afirmações para julgar como verdadeiras ou falsas:
    I. “O complemento ortogonal de \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\}, com \{\vec{u},\vec{v}\} linearmente dependente, não é subespaço vetorial.”
    II. “O conjunto solução do sistema A\vec{x}=\vec{b}, onde \vec{b}\neq\overrightarrow{0}, é subespaço vetorial.”
    III. " \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=2x-2y\} não é subespaço vetorial."
  • O que nos pedem: identificar quais das três afirmações são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre (A) a (H).
  • Informação importante dada explicitamente:
    • Em I: \{\vec{u},\vec{v}\} é linearmente dependente (LD).
    • Em II: \vec{b}\neq\overrightarrow{0}.
    • Em III: a relação que define o conjunto é z=2x-2y.
      Nada mais será resolvido nesse passo; só era pra organizar os dados e as perguntas.

Passo 2

Revisão curta e prática do que significa “subespaço vetorial” (fórmula e teste que vamos usar muitas vezes).
  • Definição: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço vetorial se, e só se:
    1. W contém o vetor zero (isto é, \overrightarrow{0}\in W);
    2. W é fechado sob adição: se \vec{u},\vec{v}\in W então \vec{u}+\vec{v}\in W;
    3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se \vec{u}\in W e c\in\mathbb{R} então c\vec{u}\in W.
  • Observação prática: muitas vezes basta mostrar que W é um espaço gerado por vetores (i.e. um span) ou que é o núcleo (nullspace) de uma transformação linear; nesses casos já se garante ser subespaço. Por outro lado, se W é um “deslocamento” (uma classe afim) de um subespaço e não contém o zero, então não é subespaço.

Passo 3

Analisando I: o complemento ortogonal de \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\} (mesmo que \{\vec{u},\vec{v}\} seja LD) é subespaço?
  • Definição usada: para um subconjunto S de \mathbb{R}^n, o complemento ortogonal é S^{\perp}=\{\vec{w}\in\mathbb{R}^n \mid \vec{w}\cdot\vec{s}=0\\ \text{para todo }\vec{s}\in S\}.
  • Propriedade fundamental (que vamos provar rapidamente): S^{\perp} é sempre um subespaço vetorial.
    • Verificação:
      1. O vetor zero satisfaz \overrightarrow{0}\cdot\vec{s}=0 para todo \vec{s}, então \overrightarrow{0}\in S^{\perp}.
      2. Se \vec{w}_1,\vec{w}_2\in S^{\perp}, então para qualquer \vec{s}\in S, (\vec{w}_1+\vec{w}_2)\cdot\vec{s}=\vec{w}_1\cdot\vec{s}+\vec{w}_2\cdot\vec{s}=0+0=0,logo \vec{w}_1+\vec{w}_2\in S^{\perp}.
      3. Se c\in\mathbb{R} e \vec{w}\in S^{\perp}, então para todo \vec{s}\in S, (c\vec{w})\cdot\vec{s}=c(\vec{w}\cdot\vec{s})=c\cdot 0=0,logo c\vec{w}\in S^{\perp}.
    • Portanto S^{\perp} satisfaz os três critérios e é subespaço, independentemente se S é LD ou LI.
  • Aplicando ao caso: S=\operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\}. Mesmo quando \{\vec{u},\vec{v}\} é LD (por exemplo \vec{v}=k\vec{u}), S é um subespaço (linha ou plano) e S^{\perp} continua sendo subespaço pelo argumento acima.
  • Conclusão para I: a afirmação “não é subespaço vetorial” é falsa. I é falsa.

Passo 4

Exemplo concreto ilustrativo para I (pra fixar): suponha \vec{u}=(1,0,0) e \vec{v}=2\vec{u}=(2,0,0) (LD). Então \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\}=\{(t,0,0)\mid t\in\mathbb{R}\}. O complemento ortogonal é
\{(0,y,z)\mid y,z\in\mathbb{R}\},
que é claramente um subespaço (um plano passando pela origem). Isso reforça que I está errada.

Passo 5

Analisando II: o conjunto solução de A\vec{x}=\vec{b} com \vec{b}\neq\overrightarrow{0} é subespaço?
  • Lembrete: o conjunto solução (quando existe solução) pode ser expresso como \{\vec{x}\in\mathbb{R}^n \mid A\vec{x}=\vec{b}\} = \vec{x}_p + \ker(A),onde \vec{x}_p é uma solução particular e \ker(A)=\{\vec{z}\mid A\vec{z}=\overrightarrow{0}\} é o núcleo (nullspace) de A.
  • Observações:
    • \ker(A) é subespaço (é o conjunto solução do sistema homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0}).
    • Mas \vec{x}_p+\ker(A) é, em geral, uma classe afim: é um subespaço deslocado por \vec{x}_p. Uma classe afim é subespaço apenas se o deslocamento for zero, isto é, se \vec{x}_p\in\ker(A) (o que implicaria A\vec{x}_p=\overrightarrow{0}, ou seja \vec{b}=\overrightarrow{0}).
  • Teste simples (contraexemplo) para mostrar que, quando \vec{b}\neq\overrightarrow{0}, o conjunto não é subespaço em geral:
    • Tome A igual à matriz identidade I e \vec{b}=(1,0,\dots,0)\neq\overrightarrow{0}. Então a solução é \vec{x}=\vec{b} (única). Esse conjunto contém um vetor \vec{b} mas não contém \overrightarrow{0} (porque I\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\neq\vec{b}), logo falha a condição 1 para subespaço. Também falha fechamento por escala (por exemplo 2\vec{b} não resolve I\vec{x}=\vec{b}). Portanto não é subespaço.
  • Conclusão para II: em geral (quando \vec{b}\neq\overrightarrow{0}) o conjunto solução não é subespaço. Assim, a afirmação II é falsa.

Passo 6

Breve nota conceitual sobre II (ajuda para prova): a solução de A\vec{x}=\vec{b} é ou vazia (se o sistema é incompatível) ou uma classe afim \vec{x}_p+\ker(A). Classes afins só são subespaços quando passam pela origem. Passar pela origem significa que existe solução \vec{x}=\overrightarrow{0} para A\vec{x}=\vec{b}, isto é A\cdot\overrightarrow{0}=\vec{b} o que exige \vec{b}=\overrightarrow{0}. Por isso a hipótese \vec{b}\neq\overrightarrow{0} impede que o conjunto seja subespaço (exceto no caso degenerado onde não há solução, mas ainda assim o conjunto vazio também não é um subespaço válido aqui — note: o conjunto vazio não é subespaço porque não contém o zero).

Passo 7

Analisando III: o conjunto
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=2x-2y\}
é subespaço ou não?
  • Teste direto pelos três critérios:
    1. Zero: para x=0,y=0 temos z=2\cdot 0-2\cdot 0=0. Assim \overrightarrow{0}=(0,0,0)\in W.
    2. Fechamento por adição: tome \vec{u}=(x_1,y_1,z_1) e \vec{v}=(x_2,y_2,z_2) em W. Então z_1=2x_1-2y_1 e z_2=2x_2-2y_2. A soma é \vec{u}+\vec{v}=(x_1+x_2,\; y_1+y_2,\; z_1+z_2).Mas z_1+z_2 = (2x_1-2y_1)+(2x_2-2y_2)=2(x_1+x_2)-2(y_1+y_2),então \vec{u}+\vec{v} satisfaz a mesma equação e pertence a W.
    3. Fechamento por escalar: seja c\in\mathbb{R} e \vec{u}=(x,y,z)\in W com z=2x-2y. Então c\vec{u}=(cx,cy,cz)e cz = c(2x-2y)=2(cx)-2(cy),portanto c\vec{u}\in W.
  • Como os três critérios são satisfeitos, W é subespaço vetorial.
  • Alternativa (parametrização) que ajuda a ver geometricamente: escreva x=s,\\ y=t. Então (x,y,z)=(s,t,2s-2t)=s(1,0,2)+t(0,1,-2).Logo W=\operatorname{span}\{(1,0,2),(0,1,-2)\}, claramente um subespaço de dimensão até 2. Isso confirma de forma construtiva que é subespaço.
  • Conclusão para III: a afirmação “não é subespaço vetorial” é falsa. III é falsa.

Passo 8

Resumo das conclusões:
  • I é falsa (o complemento ortogonal é sempre subespaço).
  • II é falsa (solução de A\vec{x}=\vec{b} com \vec{b}\neq\overrightarrow{0} é, em geral, uma classe afim, não um subespaço).
  • III é falsa (o conjunto definido por z=2x-2y é um subespaço — é o span de dois vetores).

Resposta

(A)

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