Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. O complemento ortogonal de span
LD, não é subespaço vetorial.
II. O conjunto solução do sistema
, onde
é subespaço vetorial.
III.
não é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I. O complemento ortogonal de span
II. O conjunto solução do sistema
III.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede, para não nos perdermos:
- Temos três afirmações para julgar como verdadeiras ou falsas:
I. “O complemento ortogonal de, com linearmente dependente, não é subespaço vetorial.”
II. “O conjunto solução do sistema, onde , é subespaço vetorial.”
III. "não é subespaço vetorial." - O que nos pedem: identificar quais das três afirmações são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre (A) a (H).
- Informação importante dada explicitamente:
- Em I:
é linearmente dependente (LD). - Em II:
. - Em III: a relação que define o conjunto é
.
Nada mais será resolvido nesse passo; só era pra organizar os dados e as perguntas.
- Em I:
Passo 2
Revisão curta e prática do que significa “subespaço vetorial” (fórmula e teste que vamos usar muitas vezes).
- Definição: um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço vetorial se, e só se: -
contém o vetor zero (isto é, ); -
é fechado sob adição: se então ; -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
-
- Observação prática: muitas vezes basta mostrar que
é um espaço gerado por vetores (i.e. um span) ou que é o núcleo (nullspace) de uma transformação linear; nesses casos já se garante ser subespaço. Por outro lado, se é um “deslocamento” (uma classe afim) de um subespaço e não contém o zero, então não é subespaço.
Passo 3
Analisando I: o complemento ortogonal de
(mesmo que
seja LD) é subespaço?
- Definição usada: para um subconjunto
de , o complemento ortogonal é - Propriedade fundamental (que vamos provar rapidamente):
é sempre um subespaço vetorial. - Verificação:
- O vetor zero satisfaz
para todo , então . - Se
, então para qualquer , logo . - Se
e , então para todo , logo .
- O vetor zero satisfaz
- Portanto
satisfaz os três critérios e é subespaço, independentemente se é LD ou LI.
- Verificação:
- Aplicando ao caso:
. Mesmo quando é LD (por exemplo ), é um subespaço (linha ou plano) e continua sendo subespaço pelo argumento acima. - Conclusão para I: a afirmação “não é subespaço vetorial” é falsa. I é falsa.
Passo 4
Exemplo concreto ilustrativo para I (pra fixar): suponha
e
(LD). Então
. O complemento ortogonal é
que é claramente um subespaço (um plano passando pela origem). Isso reforça que I está errada.
Passo 5
Analisando II: o conjunto solução de
com
é subespaço?
- Lembrete: o conjunto solução (quando existe solução) pode ser expresso como
onde é uma solução particular e é o núcleo (nullspace) de . - Observações:
-
é subespaço (é o conjunto solução do sistema homogêneo ). - Mas
é, em geral, uma classe afim: é um subespaço deslocado por . Uma classe afim é subespaço apenas se o deslocamento for zero, isto é, se (o que implicaria , ou seja ).
-
- Teste simples (contraexemplo) para mostrar que, quando
, o conjunto não é subespaço em geral: - Tome
igual à matriz identidade e . Então a solução é (única). Esse conjunto contém um vetor mas não contém (porque ), logo falha a condição 1 para subespaço. Também falha fechamento por escala (por exemplo não resolve ). Portanto não é subespaço.
- Tome
- Conclusão para II: em geral (quando
) o conjunto solução não é subespaço. Assim, a afirmação II é falsa.
Passo 6
Breve nota conceitual sobre II (ajuda para prova): a solução de
é ou vazia (se o sistema é incompatível) ou uma classe afim
. Classes afins só são subespaços quando passam pela origem. Passar pela origem significa que existe solução
para
, isto é
o que exige
. Por isso a hipótese
impede que o conjunto seja subespaço (exceto no caso degenerado onde não há solução, mas ainda assim o conjunto vazio também não é um subespaço válido aqui — note: o conjunto vazio não é subespaço porque não contém o zero).
Passo 7
Analisando III: o conjunto
é subespaço ou não?
- Teste direto pelos três critérios:
- Zero: para
temos . Assim . - Fechamento por adição: tome
e em . Então e . A soma é Mas então satisfaz a mesma equação e pertence a . - Fechamento por escalar: seja
e com . Então e portanto .
- Zero: para
- Como os três critérios são satisfeitos,
é subespaço vetorial. - Alternativa (parametrização) que ajuda a ver geometricamente: escreva
. Então Logo , claramente um subespaço de dimensão até 2. Isso confirma de forma construtiva que é subespaço. - Conclusão para III: a afirmação “não é subespaço vetorial” é falsa. III é falsa.
Passo 8
Resumo das conclusões:
- I é falsa (o complemento ortogonal é sempre subespaço).
- II é falsa (solução de
com é, em geral, uma classe afim, não um subespaço). - III é falsa (o conjunto definido por
é um subespaço — é o span de dois vetores).
Resposta
(A)