Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x
y
Z
-3
1
37.5
-2
5
7.1
-1
-4
14.7
0
-4
9.3
1
1
5.3
2
-4
25.3
3
-3
44.5
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(6,8). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) 126.8
(B) 127.8
(C) 128.8
(D) 129.8
(E) 130.8
(F) 131.8
(G) 132.8
(H) 133.8
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
Pede-se ajustar os parâmetros \,a,\;b,\;c\, do modelo \;Z = a x^{2} + b y + c\; minimizando o erro quadrático entre modelo e dados (ajuste por mínimos quadrados). Depois, com os parâmetros ajustados, calcular o valor previsto de Z para (x,y)=(6,8) e escolher a melhor aproximação entre as opções dadas.
Dados experimentais (peguei os números da tabela do enunciado):
Pontos (x,y,Z):
(-3,\,1,\,37{,}5)
(-2,\,5,\,7{,}1)
(-1,\,-4,\,14{,}7)
(0,\,-4,\,9{,}3)
(1,\,1,\,5{,}3)
(2,\,-4,\,25{,}3)
(3,\,-3,\,44{,}5)
O que vou devolver no final: a opção que melhor aproxima o valor previsto \,Z(6,8)\,.
Passo 2
Transformação do problema e ideia dos mínimos quadrados (aulas rápidas e intuitivas).
O modelo é linear nos parâmetros se definirmos uma variável auxiliar \,u=x^{2}. Então escrevemos
Z = a\,u + b\,y + c,
onde \,u=x^{2}.
Em ajuste por mínimos quadrados, montamos a matriz de projeto X cujas colunas são os regressors (aqui \,u,\;y,\;1), o vetor de parâmetros p=\begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} e o vetor de observações Z. A solução dos mínimos quadrados (normal equations) é dada por
X^{T}X\,p = X^{T}Z.
Isso resulta em um sistema linear 3\times3 para \,a,b,c.
Resolver o sistema linear (eliminação Gaussiana) e interpretar o que isso significa.
Faço eliminação (mostro os passos numéricos essenciais; a ideia é zerar entradas abaixo do pivô sucessivamente). Aplicando os eliminadores e reduzindo o sistema obtém-se, após operações aritméticas, o sistema triangular equivalente (mostrando os resultados numéricos intermediários):
Eliminando pela primeira linha obtemos duas equações reduzidas (valores arredondados para apresentação):
Eliminando b a partir dessas duas equações chega-se a:
2{,}6239047619\;c \;=\; 5{,}046
e portanto
c \approx 1{,}927511\quad(\text{aprox.}).
Voltando para a equação intermediária para obter b:
82{,}5255102041\,b - 5{,}5714285714\cdot c = -175{,}3959183673,
substituindo c dá
b \approx -1{,}99544779\quad(\text{aprox.}).
Finalmente, usando a primeira equação normal (ou qualquer original) para achar a:
196\,a -17\,b +28\,c = 887{,}6,
substituindo b e c obtém-se
a \approx 4{,}080138.
Interpretação rápida: \,a positivo e da ordem 4{,}08 significa que Z cresce com x^{2} conforme esse coeficiente; b negativo indica que y tende a reduzir Z no modelo ajustado.]
Passo 7
Calcular a previsão para (x,y)=(6,8).
Primeiro calcule u=x^{2}=6^{2}=36.
Avaliando o modelo \;Z = a\,u + b\,y + c\; com os valores encontrados: