Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. O núcleo de uma rotação em
é subespaço vetorial
II. O conjunto solução do sistema
, onde
não é subespaço vetorial.
III.
é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I. O núcleo de uma rotação em
II. O conjunto solução do sistema
III.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
- Temos três afirmativas:
I. O núcleo de uma rotação emé subespaço vetorial.
II. O conjunto solução do sistema, onde , não é subespaço vetorial.
III.é subespaço vetorial. - A tarefa: decidir quais dessas afirmativas são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre as opções (A) a (H).
Passo 2
Relembrando o que significa ser subespaço vetorial (a regra mais importante que vou usar várias vezes).
- Um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se: -
é não vazio (em particular, contém o vetor zero ); - para quaisquer
, tem-se (fechado sob soma); - para qualquer escalar
e qualquer , tem-se (fechado sob multiplicação escalar).
-
- Observação prática: a forma mais rápida de provar que um conjunto NÃO é subespaço é mostrar que o vetor zero não pertence ao conjunto, ou mostrar alguma falha na soma ou na multiplicação por escalar.
Passo 3
Analisando a I: “O núcleo de uma rotação em
é subespaço vetorial.”
- Primeiro, o que é núcleo (ou kernel) de uma transformação linear
? É . - Teorema simples e fundamental: o núcleo de qualquer transformação linear é sempre um subespaço vetorial. Porque se
é linear e , então e para , logo e pertencem ao núcleo; além disso o núcleo contém . - Agora, rotações em
(lin. transfs. que giram vetores em torno de um eixo que passa pela origem) são transformações lineares. Logo o núcleo de qualquer rotação é um subespaço. (No caso usual de uma rotação propriamente dita que preserva norma, o único vetor enviado para é — assim o núcleo pode ser — que também é um subespaço.) - Conclusão parcial: a afirmativa I é verdadeira.
Passo 4
Analisando a II: “O conjunto solução do sistema
, onde
, não é subespaço vetorial.”
- Primeiro, pensar nos possíveis casos para o conjunto
: - Se o sistema não tem solução, então
. O conjunto vazio não é subespaço vetorial (um subespaço deve conter o vetor zero). - Se o sistema tem pelo menos uma solução
, então o conjunto de todas as soluções é da forma que é um espaço afim deslocado por . Esse conjunto só é um subespaço se , isto é, só se .
- Se o sistema não tem solução, então
- Outra observação direta e rápida: suponha que existam soluções
com . Então que, para , não é . Ou seja, a soma de duas soluções não é necessariamente solução: falha a propriedade de fechamento sob adição requerida para subespaço. - Portanto, independentemente de haver ou não solução, quando
o conjunto solução NÃO é subespaço vetorial. - Conclusão parcial: a afirmativa II é verdadeira.
Passo 5
Analisando a III:
é subespaço vetorial.
- Teste rápido: verificar se o vetor zero
pertence ao conjunto. Para temos e a condição exigiria , isto é , o que é falso. - Como o vetor zero não pertence ao conjunto, ele não pode ser subespaço vetorial (violou a condição 1 do Passo 2).
- Outra maneira: este conjunto é um plano afim (um plano paralelo a
deslocado em razão do termo constante ). Planos afins que não passam pela origem não são subespaços. - Conclusão parcial: a afirmativa III é falsa.
Passo 6
Resumo final das verdades das afirmativas:
- I: verdadeira.
- II: verdadeira.
- III: falsa.
Logo a alternativa que corresponde é a que diz “Só I e II são verdadeiras.”
Resposta
(D) Só I e II são verdadeiras.