Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. O núcleo de uma rotação em \mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial
II. O conjunto solução do sistema A \vec{x}=\vec{b}, onde \vec{b} \neq \overrightarrow{0} não é subespaço vetorial.
III. \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=3 x+3\right\} é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Temos três afirmativas:
    I. O núcleo de uma rotação em \mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial.
    II. O conjunto solução do sistema A \vec{x}=\vec{b}, onde \vec{b} \neq \overrightarrow{0}, não é subespaço vetorial.
    III. \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=3 x+3\right\} é subespaço vetorial.
  • A tarefa: decidir quais dessas afirmativas são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre as opções (A) a (H).

Passo 2

Relembrando o que significa ser subespaço vetorial (a regra mais importante que vou usar várias vezes).
  • Um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^n é subespaço vetorial se e somente se:
    1. S é não vazio (em particular, contém o vetor zero \overrightarrow{0});
    2. para quaisquer \vec{u},\vec{v}\in S, tem-se \vec{u}+\vec{v}\in S (fechado sob soma);
    3. para qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R} e qualquer \vec{v}\in S, tem-se \alpha\vec{v}\in S (fechado sob multiplicação escalar).
  • Observação prática: a forma mais rápida de provar que um conjunto NÃO é subespaço é mostrar que o vetor zero não pertence ao conjunto, ou mostrar alguma falha na soma ou na multiplicação por escalar.

Passo 3

Analisando a I: “O núcleo de uma rotação em \mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial.”
  • Primeiro, o que é núcleo (ou kernel) de uma transformação linear T? É \ker(T)=\{\vec{v}\in\mathbb{R}^3 \mid T(\vec{v})=\overrightarrow{0}\}.
  • Teorema simples e fundamental: o núcleo de qualquer transformação linear é sempre um subespaço vetorial. Porque se T é linear e \vec{u},\vec{v}\in\ker(T), então T(\vec{u}+\vec{v})=T(\vec{u})+T(\vec{v})=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0},e para \alpha\in\mathbb{R}, T(\alpha\vec{v})=\alpha T(\vec{v})=\alpha\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0},logo \vec{u}+\vec{v} e \alpha\vec{v} pertencem ao núcleo; além disso o núcleo contém \overrightarrow{0}.
  • Agora, rotações em \mathbb{R}^3 (lin. transfs. que giram vetores em torno de um eixo que passa pela origem) são transformações lineares. Logo o núcleo de qualquer rotação é um subespaço. (No caso usual de uma rotação propriamente dita que preserva norma, o único vetor enviado para \overrightarrow{0} é \overrightarrow{0} — assim o núcleo pode ser \{\overrightarrow{0}\} — que também é um subespaço.)
  • Conclusão parcial: a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

Analisando a II: “O conjunto solução do sistema A \vec{x}=\vec{b}, onde \vec{b} \neq \overrightarrow{0}, não é subespaço vetorial.”
  • Primeiro, pensar nos possíveis casos para o conjunto S=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^n \mid A\vec{x}=\vec{b}\}:
    • Se o sistema não tem solução, então S=\varnothing. O conjunto vazio não é subespaço vetorial (um subespaço deve conter o vetor zero).
    • Se o sistema tem pelo menos uma solução \vec{x}_p, então o conjunto de todas as soluções é da forma S=\vec{x}_p+\ker(A)=\{\vec{x}_p+\vec{v}\mid \vec{v}\in\ker(A)\},que é um espaço afim deslocado por \vec{x}_p. Esse conjunto só é um subespaço se \vec{x}_p=\overrightarrow{0}, isto é, só se \vec{b}=\overrightarrow{0}.
  • Outra observação direta e rápida: suponha que existam soluções \vec{x}_1,\vec{x}_2 com A\vec{x}_1=A\vec{x}_2=\vec{b}. Então A(\vec{x}_1+\vec{x}_2)=A\vec{x}_1+A\vec{x}_2=\vec{b}+\vec{b}=2\vec{b},que, para \vec{b}\neq\overrightarrow{0}, não é \vec{b}. Ou seja, a soma de duas soluções não é necessariamente solução: falha a propriedade de fechamento sob adição requerida para subespaço.
  • Portanto, independentemente de haver ou não solução, quando \vec{b}\neq\overrightarrow{0} o conjunto solução NÃO é subespaço vetorial.
  • Conclusão parcial: a afirmativa II é verdadeira.

Passo 5

Analisando a III: \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=3 x+3\right\} é subespaço vetorial.
  • Teste rápido: verificar se o vetor zero \overrightarrow{0}=(0,0,0) pertence ao conjunto. Para (0,0,0) temos y=0 e a condição exigiria 0=3\cdot 0+3, isto é 0=3, o que é falso.
  • Como o vetor zero não pertence ao conjunto, ele não pode ser subespaço vetorial (violou a condição 1 do Passo 2).
  • Outra maneira: este conjunto é um plano afim (um plano paralelo a \{y=3x\} deslocado em razão do termo constante +3). Planos afins que não passam pela origem não são subespaços.
  • Conclusão parcial: a afirmativa III é falsa.

Passo 6

Resumo final das verdades das afirmativas:
  • I: verdadeira.
  • II: verdadeira.
  • III: falsa.
Logo a alternativa que corresponde é a que diz “Só I e II são verdadeiras.”

Resposta

(D) Só I e II são verdadeiras.

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