Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=-6 x^{2}+10 x-5 sobre \mathcal{P}_{1}.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p e de a x+b, para diversos valores de a e b. O observe que a melhor aproximação de p no intervalo [0,1] por um polinômio da forma a x+b é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação seria outra).
(A) 4 x-4
(B) 7 x-5
(C) 10 x-4
(D) 10 x-5
(E) 4 x-5
(F) 7 x-4

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede: a projeção ortogonal de p(x)=-6x^{2}+10x-5 sobre \mathcal{P}_{1}, o subespaço dos polinômios de grau \le 1 (isto é, polinômios da forma r(x)=ax+b).
  • Produto interno definido: \langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx.
  • Informação útil: \mathcal{P}_{1} é o subespaço gerado por \{1,x\}. A projeção ortogonal de p em \mathcal{P}_{1} é o polinômio r(x)=ax+b tal que p-r é ortogonal a todos os vetores de \mathcal{P}_{1} — em particular a 1 e a x.

Passo 2

Ideia do método (em palavras simples, sem ainda calcular): como encontrar a e b.
  • Condição de projeção ortogonal: \langle p-r,\,1\rangle=0 e \langle p-r,\,x\rangle=0.
  • Isso gera duas equações lineares em a e b. Vou calcular cada produto interno, transformando-os em integrais no intervalo [0,1], e então resolver o sistema para a e b.

Passo 3

Calcular \langle p,1\rangle e \langle r,1\rangle (primeira equação).
  • Primeiro, \langle p,1\rangle=\int_{0}^{1} p(x)\cdot 1\,dx=\int_{0}^{1}(-6x^{2}+10x-5)\,dx.
\int_{0}^{1}-6x^{2}\,dx=-6\cdot\frac{1^{3}}{3}=-6\cdot\frac{1}{3}=-2
\int_{0}^{1}10x\,dx=10\cdot\frac{1^{2}}{2}=10\cdot\frac{1}{2}=5
\int_{0}^{1}-5\,dx=-5\cdot(1-0)=-5
Somando:
\langle p,1\rangle=-2+5-5=-2.
  • Agora \langle r,1\rangle=\int_{0}^{1}(ax+b)\cdot 1\,dx=\int_{0}^{1}ax+b\,dx.
\int_{0}^{1}ax\,dx=a\cdot\frac{1^{2}}{2}=\frac{a}{2},\qquad \int_{0}^{1}b\,dx=b.
Logo
\langle r,1\rangle=\frac{a}{2}+b.
  • Condição \langle p-r,1\rangle=0
\langle p,1\rangle-\langle r,1\rangle=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{a}{2}+b=\langle p,1\rangle=-2.

Passo 4

Calcular \langle p,x\rangle e \langle r,x\rangle (segunda equação).
  • Primeiro, \langle p,x\rangle=\int_{0}^{1} p(x)\,x\,dx=\int_{0}^{1}(-6x^{2}+10x-5)x\,dx=\int_{0}^{1}(-6x^{3}+10x^{2}-5x)\,dx.
\int_{0}^{1}-6x^{3}\,dx=-6\cdot\frac{1^{4}}{4}=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}
\int_{0}^{1}10x^{2}\,dx=10\cdot\frac{1^{3}}{3}=\frac{10}{3}
\int_{0}^{1}-5x\,dx=-5\cdot\frac{1^{2}}{2}=-\frac{5}{2}
Somando:
\langle p,x\rangle=-\frac{3}{2}+\frac{10}{3}-\frac{5}{2}.
Calculo combinado: -\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{2}=-4. Então
\langle p,x\rangle=-4+\frac{10}{3}=-\frac{12}{3}+\frac{10}{3}=-\frac{2}{3}.
  • Agora \langle r,x\rangle=\int_{0}^{1}(ax+b)\,x\,dx=\int_{0}^{1}(a x^{2}+b x)\,dx.
\int_{0}^{1}a x^{2}\,dx=a\cdot\frac{1^{3}}{3}=\frac{a}{3},\qquad \int_{0}^{1}b x\,dx=b\cdot\frac{1^{2}}{2}=\frac{b}{2}.
Logo
\langle r,x\rangle=\frac{a}{3}+\frac{b}{2}.
  • Condição \langle p-r,x\rangle=0
\frac{a}{3}+\frac{b}{2}=\langle p,x\rangle=-\frac{2}{3}.

Passo 5

Montar e simplificar o sistema linear para a e b.
As duas equações obtidas são
\frac{a}{2}+b=-2,
\frac{a}{3}+\frac{b}{2}=-\frac{2}{3}.
Multiplico a primeira por 2 e a segunda por 6 para eliminar frações:
a+2b=-4,
2a+3b=-4.

Passo 6

Resolver o sistema linear.
  • Da primeira: a=-4-2b.
  • Substituindo na segunda:
2(-4-2b)+3b=-4 \quad\Rightarrow\quad -8-4b+3b=-4 \quad\Rightarrow\quad -8-b=-4.
  • Isolando b: -b=4 então b=-4.
  • Substituindo em a=-4-2b:
a=-4-2(-4)=-4+8=4.
Portanto a projeção é
r(x)=ax+b=4x-4.

Passo 7

Interpretação final e dica rápida (um empurrão motivador).
  • A projeção ortogonal é o polinômio da forma ax+b que minimiza a norma \|p-r\| induzida pelo produto interno, isto é, minimiza \int_{0}^{1}(p(x)-r(x))^{2}\,dx. Encontramos r(x)=4x-4.
  • Dica prática para a prova: para projetar sobre o espaço gerado por funções simples, sempre impor ortogonalidade contra uma base (aqui \{1,x\}) e resolver o sistema linear obtido — costuma ser direto e envolve só integrais simples.

Resposta

(A) 4x-4

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