Q14: Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
sobre
.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
e de
, para diversos valores de
e
. O observe que a melhor aproximação de
no intervalo
por um polinômio da forma
é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em
a melhor aproximação seria outra).
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pede: a projeção ortogonal de
sobre , o subespaço dos polinômios de grau (isto é, polinômios da forma ). - Produto interno definido:
. - Informação útil:
é o subespaço gerado por . A projeção ortogonal de em é o polinômio tal que é ortogonal a todos os vetores de — em particular a e a .
Passo 2
Ideia do método (em palavras simples, sem ainda calcular): como encontrar
e
.
- Condição de projeção ortogonal:
e . - Isso gera duas equações lineares em
e . Vou calcular cada produto interno, transformando-os em integrais no intervalo , e então resolver o sistema para e .
Passo 3
Calcular
e
(primeira equação).
- Primeiro,
.
Somando:
- Agora
.
Logo
- Condição
dá
Passo 4
Calcular
e
(segunda equação).
- Primeiro,
.
Somando:
Calculo combinado:
. Então
- Agora
.
Logo
- Condição
dá
Passo 5
Montar e simplificar o sistema linear para
e
.
As duas equações obtidas são
Multiplico a primeira por
e a segunda por
para eliminar frações:
Passo 6
Resolver o sistema linear.
- Da primeira:
. - Substituindo na segunda:
- Isolando
: então . - Substituindo em
:
Portanto a projeção é
Passo 7
Interpretação final e dica rápida (um empurrão motivador).
- A projeção ortogonal é o polinômio da forma
que minimiza a norma induzida pelo produto interno, isto é, minimiza . Encontramos . - Dica prática para a prova: para projetar sobre o espaço gerado por funções simples, sempre impor ortogonalidade contra uma base (aqui
) e resolver o sistema linear obtido — costuma ser direto e envolve só integrais simples.
Resposta
(A)