Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 -3 -27.6
-2 -4 -7.4
-1 4 -19.4
0 5 -18.0
1 4 -18.6
2 -1 -13.8
3 -2 -30.8
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(7,8). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -208.7
(B) -207.7
(C) -206.7
(D) -205.7
(E) -204.7
(F) -203.7
(G) -202.7
(H) -201.7

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pede: ajustar os parâmetros a, b e c do modelo Z=a x^{2}+b y+c por mínimos quadrados usando as 7 medições fornecidas, e com o modelo ajustado prever Z em (x,y)=(7,8).
  • Dados (peguei todos da tabela do enunciado):
    • (x,y,Z)=(-3,-3,-27,6)
    • (x,y,Z)=(-2,-4,-7,4)
    • (x,y,Z)=(-1,4,-19,4)
    • (x,y,Z)=(0,5,-18,0)
    • (x,y,Z)=(1,4,-18,6)
    • (x,y,Z)=(2,-1,-13,8)
    • (x,y,Z)=(3,-2,-30,8)
Resumo objetivo: encontrar a,b,c que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos Z_{\text{medido}}-(a x^{2}+b y+c), e calcular então Z(7,8)=a\cdot 7^{2}+b\cdot 8+c.

Passo 2

Como transformar isso em um problema linear (ideia dos mínimos quadrados) — explicação didática.
  • O modelo é linear nos parâmetros a,b,c (apesar de não ser linear em x). Podemos escrever em forma matricial
\mathbf{Z}=\mathbf{A}\,\mathbf{p},
onde \mathbf{p}=\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix} e cada linha de \mathbf{A} corresponde a uma medição: \bigl[x^{2},\;y,\;1\bigr].
  • A solução dos mínimos quadrados (para A de posto completo) é a solução das equações normais
\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}\,\mathbf{p}=\mathbf{A}^{T}\mathbf{Z}.
  • Então o plano de ação: montar \mathbf{A} e \mathbf{Z}, calcular \mathbf{A}^{T}\mathbf{A} e \mathbf{A}^{T}\mathbf{Z}, resolver o sistema linear 3×3 resultante para \mathbf{p}, e usar \mathbf{p} para prever Z(7,8).]

Passo 3

Montagem explícita de \mathbf{A}, \mathbf{Z} e cálculo das somas necessárias (passo-a-passo nas contas).
  • Para cada ponto calculei x^{2} e montei linhas [x^{2},y,1]. Os valores de x^{2} são 9,4,1,0,1,4,9.
  • Calculei as somas que aparecem em \mathbf{A}^{T}\mathbf{A} e \mathbf{A}^{T}\mathbf{Z}. As somas (completa e justificada) são:
    • \displaystyle \sum x^{4}=\sum (x^{2})^{2}=81+16+1+0+1+16+81=196.
    • \displaystyle \sum x^{2}y = 9(-3)+4(-4)+1(4)+0(5)+1(4)+4(-1)+9(-2)=-57.
    • \displaystyle \sum x^{2}=9+4+1+0+1+4+9=28.
    • \displaystyle \sum y^{2}=(-3)^{2}+(-4)^{2}+4^{2}+5^{2}+4^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}=87.
    • \displaystyle \sum y = -3-4+4+5+4-1-2=3.
    • n=7 (número de medições).
    • \displaystyle \sum x^{2}Z = 9(-27,6)+4(-7,4)+1(-19,4)+0(-18,0)+1(-18,6)+4(-13,8)+9(-30,8)=-648,4.
    • \displaystyle \sum yZ = (-3)(-27,6)+(-4)(-7,4)+4(-19,4)+5(-18,0)+4(-18,6)+(-1)(-13,8)+(-2)(-30,8)=-54,2.
    • \displaystyle \sum Z = -27,6-7,4-19,4-18,0-18,6-13,8-30,8=-135,6.
  • Assim a matriz das equações normais e o termo direito são
\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}= \begin{pmatrix} 196 & -57 & 28\\[4pt] -57 & 87 & 3\\[4pt] 28 & 3 & 7 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{A}^{T}\mathbf{Z}= \begin{pmatrix} -648,4\\[4pt] -54,2\\[4pt] -135,6 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Resolver as equações normais (explicando o algoritmo de eliminação e mostrando os cálculos principais).
  • Vamos resolver
\begin{pmatrix} 196 & -57 & 28\\\\ -57 & 87 & 3\\\\ 28 & 3 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-648,4\\\\ -54,2\\\\ -135,6\end{pmatrix}.
  • Aplicando eliminação de Gauss (mostro passos essenciais e valores exatos/ racionais quando conveniente):
    1. Eliminação da 2ª linha usando a 1ª:
      • Fator L_{21}=-\dfrac{57}{196}.
      • Nova 2ª linha tem coeficientes 70,428571 (coluna de b) e 11,142857 (coluna de c) e termo direito -242,758163.
    2. Eliminação da 3ª linha usando a 1ª:
      • Fator L_{31}=\dfrac{28}{196}=\dfrac{1}{7}.
      • Nova 3ª linha tem coeficientes 11,142857 (coluna de b) e 3 (coluna de c) e termo direito -42,9714286.
    3. Agora eliminar o elemento 11,142857 da 3ª linha usando a nova 2ª linha:
      • Fator L_{32}=\dfrac{78}{493}\approx 0,158214.
      • Após essa eliminação a última equação fica só em c com coeficiente
        m_{33}''=\dfrac{4269}{3451}\approx 1,2369859 e termo direito r_{3}''\approx -4,562210.
  • Resolvendo a equação triangular final para c:
    c=\dfrac{r_{3}''}{m_{33}''}\approx \dfrac{-4,562210}{1,2369859}\approx -3,688110262.
  • Voltando para a segunda equação (substituindo c) obtemos
    b\approx -2,864000000.
  • Finalmente, usando a primeira equação e substituindo b e c, obtemos
    a\approx -3,6139792245.
Observação pedagógica: os valores de a,b,c foram obtidos resolvendo exatamente as equações normais; aqui apresentei as frações e os valores decimais significativos para que se veja a precisão necessária. Em software (planilha, Python, Octave) obtém-se os mesmos números numéricos com grande facilidade.

Passo 5

Previsão para (x,y)=(7,8) usando o modelo ajustado — passo-a-passo de conta.
  • Calcule x^{2}=7^{2}=49.
  • Use Z(7,8)=a\cdot 49 + b\cdot 8 + c.
  • Substituindo os valores numéricos obtidos: Z(7,8)\approx (-3,6139792245)\cdot 49 + (-2,864000000)\cdot 8 + (-3,688110262).
  • Fazendo as operações (conte as casas com cuidado):
    • a\cdot 49 \approx -177,084982002.
    • b\cdot 8 \approx -22,912000000.
    • Somando e acrescentando c
    Z(7,8)\approx -177,084982002 -22,912000000 -3,688110262 \approx -203,685092264.
  • Arredondando para uma casa decimal (como nas opções), isso corresponde a aproximadamente -203,7.

Resposta

(F) -203,7

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