Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x
y
Z
-3
-3
-27.6
-2
-4
-7.4
-1
4
-19.4
0
5
-18.0
1
4
-18.6
2
-1
-13.8
3
-2
-30.8
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(7,8). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -208.7
(B) -207.7
(C) -206.7
(D) -205.7
(E) -204.7
(F) -203.7
(G) -202.7
(H) -201.7
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
Pede: ajustar os parâmetros a, b e c do modelo Z=a x^{2}+b y+c por mínimos quadrados usando as 7 medições fornecidas, e com o modelo ajustado prever Z em (x,y)=(7,8).
Dados (peguei todos da tabela do enunciado):
(x,y,Z)=(-3,-3,-27,6)
(x,y,Z)=(-2,-4,-7,4)
(x,y,Z)=(-1,4,-19,4)
(x,y,Z)=(0,5,-18,0)
(x,y,Z)=(1,4,-18,6)
(x,y,Z)=(2,-1,-13,8)
(x,y,Z)=(3,-2,-30,8)
Resumo objetivo: encontrar a,b,c que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos Z_{\text{medido}}-(a x^{2}+b y+c), e calcular então Z(7,8)=a\cdot 7^{2}+b\cdot 8+c.
Passo 2
Como transformar isso em um problema linear (ideia dos mínimos quadrados) — explicação didática.
O modelo é linear nos parâmetros a,b,c (apesar de não ser linear em x). Podemos escrever em forma matricial
\mathbf{Z}=\mathbf{A}\,\mathbf{p},
onde \mathbf{p}=\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix} e cada linha de \mathbf{A} corresponde a uma medição: \bigl[x^{2},\;y,\;1\bigr].
A solução dos mínimos quadrados (para A de posto completo) é a solução das equações normais
Então o plano de ação: montar \mathbf{A} e \mathbf{Z}, calcular \mathbf{A}^{T}\mathbf{A} e \mathbf{A}^{T}\mathbf{Z}, resolver o sistema linear 3×3 resultante para \mathbf{p}, e usar \mathbf{p} para prever Z(7,8).]
Passo 3
Montagem explícita de \mathbf{A}, \mathbf{Z} e cálculo das somas necessárias (passo-a-passo nas contas).
Para cada ponto calculei x^{2} e montei linhas [x^{2},y,1]. Os valores de x^{2} são 9,4,1,0,1,4,9.
Calculei as somas que aparecem em \mathbf{A}^{T}\mathbf{A} e \mathbf{A}^{T}\mathbf{Z}. As somas (completa e justificada) são:
Aplicando eliminação de Gauss (mostro passos essenciais e valores exatos/ racionais quando conveniente):
Eliminação da 2ª linha usando a 1ª:
Fator L_{21}=-\dfrac{57}{196}.
Nova 2ª linha tem coeficientes 70,428571 (coluna de b) e 11,142857 (coluna de c) e termo direito -242,758163.
Eliminação da 3ª linha usando a 1ª:
Fator L_{31}=\dfrac{28}{196}=\dfrac{1}{7}.
Nova 3ª linha tem coeficientes 11,142857 (coluna de b) e 3 (coluna de c) e termo direito -42,9714286.
Agora eliminar o elemento 11,142857 da 3ª linha usando a nova 2ª linha:
Fator L_{32}=\dfrac{78}{493}\approx 0,158214.
Após essa eliminação a última equação fica só em c com coeficiente m_{33}''=\dfrac{4269}{3451}\approx 1,2369859 e termo direito r_{3}''\approx -4,562210.
Voltando para a segunda equação (substituindo c) obtemos
b\approx -2,864000000.
Finalmente, usando a primeira equação e substituindo b e c, obtemos
a\approx -3,6139792245.
Observação pedagógica: os valores de a,b,c foram obtidos resolvendo exatamente as equações normais; aqui apresentei as frações e os valores decimais significativos para que se veja a precisão necessária. Em software (planilha, Python, Octave) obtém-se os mesmos números numéricos com grande facilidade.
Passo 5
Previsão para (x,y)=(7,8) usando o modelo ajustado — passo-a-passo de conta.