Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. A imagem de uma rotação em \mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial
II. \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=5 x-5 z\right\} é subespaço vetorial.
III. O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado apresenta três afirmativas e pede que se identifique quais são verdadeiras:
    I. A imagem de uma rotação em \mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial.
    II. \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=5 x-5 z\right\} é subespaço vetorial.
    III. O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.
  • A tarefa é escolher, entre as opções dadas, qual combinação de afirmativas é correta.

Passo 2

Vou lembrar e explicar claramente o que significa “subespaço vetorial” — isso é essencial para testar cada afirmativa.
  • Definição prática (critério útil): um subconjunto S de \mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial se e somente se:
    1. \overrightarrow{0} \in S (contém o vetor zero);
    2. para quaisquer \vec{u},\vec{v}\in S, tem-se \vec{u}+\vec{v}\in S (fechado sob adição);
    3. para qualquer escalar c\in\mathbb{R} e qualquer \vec{u}\in S, tem-se c\vec{u}\in S (fechado sob multiplicação por escalar).
  • Observação: essas três propriedades são equivalentes a dizer que S é fechado por combinações lineares (se \vec{u},\vec{v}\in S e a,b\in\mathbb{R} então a\vec{u}+b\vec{v}\in S).
  • Outra maneira prática: se um conjunto pode ser escrito como o espaço gerado (span) de alguns vetores, isto é \operatorname{span}\{\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_k\}, então é subespaço; e todo núcleo (nullspace) de uma transformação linear também é subespaço.

Passo 3

Analisando a afirmativa I: “A imagem de uma rotação em \mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial.”
  • O que é “imagem de uma rotação”? Uma rotação em \mathbb{R}^{3} costuma ser a transformação linear R:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} que gira vetores em torno da origem (por exemplo rotação em torno de um eixo que passa pela origem). Essa transformação pode ser representada por uma matriz ortogonal M com \det M=1.
  • Propriedade importante: matrizes de rotação são invertíveis (têm inversa M^{-1}=M^{T}). Uma transformação linear invertível T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} é bijetora, logo é sobrejetora (sobra tudo o que está no contradomínio).
  • Conclusão: a imagem \operatorname{Im}(R) de uma rotação linear invertível é todo o espaço \mathbb{R}^{3}. E \mathbb{R}^{3} é, claro, um subespaço vetorial de si mesmo.
  • Portanto a afirmativa I é verdadeira.
(Dica prática para prova: ao ver “imagem de uma rotação” pense “transformação linear representada por matriz ortogonal com inversa” → imagem = todo o espaço.)

Passo 4

Analisando a afirmativa II: \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=5 x-5 z\right\} é subespaço vetorial.
  • Primeiro verifique se o vetor zero pertence: para (0,0,0) temos y=0 e 5x-5z=0, logo a condição é satisfeita; então \overrightarrow{0} está no conjunto.
  • Para testar fechamento, é prático parametrizar o conjunto. A condição é y=5x-5z. Tome x e z como parâmetros livres. Então qualquer vetor do conjunto pode ser escrito como (x,y,z) = (x,\,5x-5z,\,z).Separe por termos em x e z: (x,5x-5z,z) = x\,(1,5,0) + z\,(0,-5,1).
  • Isso mostra que o conjunto é \operatorname{span}\{(1,5,0),(0,-5,1)\}, ou seja, é o espaço gerado por esses dois vetores. Qualquer span é um subespaço vetorial (por definição é fechado para combinações lineares).
  • Assim a afirmativa II é verdadeira.
(Observação: geometricamente é um plano que passa pela origem, por isso é subespaço; se o plano não passasse pela origem — por exemplo y=5x-5z+1 — não seria subespaço.)

Passo 5

Analisando a afirmativa III: “O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.”
  • O conjunto solução de A\vec{x}=\vec{0} é exatamente o núcleo (nullspace) da matriz A, denotado \ker(A)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^{n}\mid A\vec{x}=\vec{0}\}.
  • Prova padrão de que \ker(A) é subespaço:
    1. A\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}, logo \overrightarrow{0}\in\ker(A).
    2. Se \vec{u},\vec{v}\in\ker(A) então A(\vec{u}+\vec{v})=A\vec{u}+A\vec{v}=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}, logo \vec{u}+\vec{v}\in\ker(A).
    3. Se \vec{u}\in\ker(A) e c\in\mathbb{R} então A(c\vec{u})=cA\vec{u}=c\vec{0}=\vec{0}, logo c\vec{u}\in\ker(A).
  • Portanto o conjunto solução é fechado sob soma e multiplicação por escalares e contém o zero — logo é um subespaço vetorial.
  • Assim a afirmativa III é verdadeira.

Passo 6

Resumo dos resultados (cada afirmativa isoladamente):
  • I é verdadeira.
  • II é verdadeira.
  • III é verdadeira.

Resposta

(H) Todas são verdadeiras.

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