Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. A imagem de uma rotação em
é subespaço vetorial
II.
é subespaço vetorial.
III. O conjunto solução do sistema linear homogêneo
é um subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I. A imagem de uma rotação em
II.
III. O conjunto solução do sistema linear homogêneo
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado apresenta três afirmativas e pede que se identifique quais são verdadeiras:
I. A imagem de uma rotação emé subespaço vetorial.
II.é subespaço vetorial.
III. O conjunto solução do sistema linear homogêneoé um subespaço vetorial. - A tarefa é escolher, entre as opções dadas, qual combinação de afirmativas é correta.
Passo 2
Vou lembrar e explicar claramente o que significa “subespaço vetorial” — isso é essencial para testar cada afirmativa.
- Definição prática (critério útil): um subconjunto
de é subespaço vetorial se e somente se: -
(contém o vetor zero); - para quaisquer
, tem-se (fechado sob adição); - para qualquer escalar
e qualquer , tem-se (fechado sob multiplicação por escalar).
-
- Observação: essas três propriedades são equivalentes a dizer que
é fechado por combinações lineares (se e então ). - Outra maneira prática: se um conjunto pode ser escrito como o espaço gerado (span) de alguns vetores, isto é
, então é subespaço; e todo núcleo (nullspace) de uma transformação linear também é subespaço.
Passo 3
Analisando a afirmativa I: “A imagem de uma rotação em
é subespaço vetorial.”
- O que é “imagem de uma rotação”? Uma rotação em
costuma ser a transformação linear que gira vetores em torno da origem (por exemplo rotação em torno de um eixo que passa pela origem). Essa transformação pode ser representada por uma matriz ortogonal com . - Propriedade importante: matrizes de rotação são invertíveis (têm inversa
). Uma transformação linear invertível é bijetora, logo é sobrejetora (sobra tudo o que está no contradomínio). - Conclusão: a imagem
de uma rotação linear invertível é todo o espaço . E é, claro, um subespaço vetorial de si mesmo. - Portanto a afirmativa I é verdadeira.
(Dica prática para prova: ao ver “imagem de uma rotação” pense “transformação linear representada por matriz ortogonal com inversa” → imagem = todo o espaço.)
Passo 4
Analisando a afirmativa II:
é subespaço vetorial.
- Primeiro verifique se o vetor zero pertence: para
temos e , logo a condição é satisfeita; então está no conjunto. - Para testar fechamento, é prático parametrizar o conjunto. A condição é
. Tome e como parâmetros livres. Então qualquer vetor do conjunto pode ser escrito como Separe por termos em e : - Isso mostra que o conjunto é
, ou seja, é o espaço gerado por esses dois vetores. Qualquer span é um subespaço vetorial (por definição é fechado para combinações lineares). - Assim a afirmativa II é verdadeira.
(Observação: geometricamente é um plano que passa pela origem, por isso é subespaço; se o plano não passasse pela origem — por exemplo
— não seria subespaço.)
Passo 5
Analisando a afirmativa III: “O conjunto solução do sistema linear homogêneo
é um subespaço vetorial.”
- O conjunto solução de
é exatamente o núcleo (nullspace) da matriz , denotado . - Prova padrão de que
é subespaço: -
, logo . - Se
então , logo . - Se
e então , logo .
-
- Portanto o conjunto solução é fechado sob soma e multiplicação por escalares e contém o zero — logo é um subespaço vetorial.
- Assim a afirmativa III é verdadeira.
Passo 6
Resumo dos resultados (cada afirmativa isoladamente):
- I é verdadeira.
- II é verdadeira.
- III é verdadeira.
Resposta
(H) Todas são verdadeiras.