Q12: Sejam
e
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
Passo 1
O enunciado dá:
-
. -
.
Pede-se a projeção ortogonal
e, especificamente, o valor da terceira entrada
de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação
define o subespaço como o conjunto de vetores ortogonais ao vetor normal . - A projeção ortogonal de
sobre pode ser obtida subtraindo de sua projeção no espaço ortogonal .
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): qualquer vetor
em
se decompõe ortogonalmente como
onde
e
. Assim
Como
é a reta gerada pelo vetor normal
, é mais fácil calcular primeiro
(projeção de
em
) e depois fazer
.
Passo 3
Fórmula da projeção de um vetor
sobre um vetor não-nulo
:
Explicando cada símbolo:
-
é o produto escalar entre e , isto é a soma dos produtos das componentes correspondentes. -
é o quadrado da norma de . - O quociente
é o escalar que dá a componente de na direção de .
Passo 4
Identificar o vetor normal
a partir da equação de
:
Passo 5
Calcular o produto escalar
.
Computando termo a termo:
Passo 6
Calcular
(norma ao quadrado de
):
Passo 7
Calcular a projeção de
sobre
:
Logo
Passo 8
Obter
subtraindo a componente em
:
Calculando componente a componente:
Passo 9
Extrair a terceira componente
de
. Pela computação anterior,
Resposta
(H) 8