Q12: Sejam \vec{v}=(-7,-4,12,1) e
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-3 y+2 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} \mathrm{em} H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8

Passo 1

O enunciado dá:
  • \vec{v}=(-7,-4,12,1).
  • H=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x-3y+2z+w=0\}.
Pede-se a projeção ortogonal \vec{w}=P_H\vec{v} e, especificamente, o valor da terceira entrada w_{3} de \vec{w}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação x-3y+2z+w=0 define o subespaço H como o conjunto de vetores ortogonais ao vetor normal n=(1,-3,2,1).
  • A projeção ortogonal de \vec{v} sobre H pode ser obtida subtraindo de \vec{v} sua projeção no espaço ortogonal H^{\perp}=\operatorname{span}\{n\}.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): qualquer vetor \vec{v} em \mathbb{R}^4 se decompõe ortogonalmente como
\vec{v}=\vec{w}+\vec{u},
onde \vec{w}\in H e \vec{u}\in H^{\perp}. Assim
\vec{w}=\vec{v}-\vec{u}.
Como H^{\perp} é a reta gerada pelo vetor normal n=(1,-3,2,1), é mais fácil calcular primeiro \vec{u}=\operatorname{proj}_{n}\vec{v} (projeção de \vec{v} em n) e depois fazer \vec{w}=\vec{v}-\vec{u}.

Passo 3

Fórmula da projeção de um vetor \vec{v} sobre um vetor não-nulo \vec{n}:
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n}.
Explicando cada símbolo:
  • \vec{v}\cdot\vec{n} é o produto escalar entre \vec{v} e \vec{n}, isto é a soma dos produtos das componentes correspondentes.
  • \vec{n}\cdot\vec{n} é o quadrado da norma de \vec{n}.
  • O quociente \dfrac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}} é o escalar que dá a componente de \vec{v} na direção de \vec{n}.

Passo 4

Identificar o vetor normal \vec{n} a partir da equação de H:
\vec{n}=(1,-3,2,1).

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{n}.
\vec{v}\cdot\vec{n}=(-7)\cdot 1 + (-4)\cdot(-3) + 12\cdot 2 + 1\cdot 1.
Computando termo a termo:
-7 + 12 + 24 + 1 = 30.

Passo 6

Calcular \vec{n}\cdot\vec{n} (norma ao quadrado de \vec{n}):
\vec{n}\cdot\vec{n}=1^2+(-3)^2+2^2+1^2=1+9+4+1=15.

Passo 7

Calcular a projeção de \vec{v} sobre \vec{n}:
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=\frac{30}{15}\,\vec{n}=2\,(1,-3,2,1).
Logo
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=(2,-6,4,2).

Passo 8

Obter \vec{w}=P_H\vec{v} subtraindo a componente em H^{\perp}:
\vec{w}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=(-7,-4,12,1)-(2,-6,4,2).
Calculando componente a componente:
\vec{w}=(-7-2,\\\ -4-(-6),\\\ 12-4,\\\ 1-2)=(-9,2,8,-1).

Passo 9

Extrair a terceira componente w_{3} de \vec{w}. Pela computação anterior,
w_{3}=8.

Resposta

(H) 8

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