O enunciado pede o ângulo \theta entre os vetores (5,3,-1,-2) e (1,-3,2,0) em \mathbb{R}^4, e quer saber em qual das opções abaixo \theta se encontra:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi
Informações dadas (peguei do enunciado):
Vetor \mathbf{u}=(5,3,-1,-2).
Vetor \mathbf{v}=(1,-3,2,0).
O objetivo é calcular (ou comparar) o cosseno do ângulo \theta entre \mathbf{u} e \mathbf{v} e usar isso para identificar o intervalo correto.
Passo 2
Definição e cálculo do produto escalar (dot product).
Em \mathbb{R}^n, o produto escalar entre \mathbf{u}=(u_1,\dots,u_n) e \mathbf{v}=(v_1,\dots,v_n) é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{n} u_i v_i.
Cada termo é o produto das componentes correspondentes, e depois soma-se tudo. Isso dá uma medida da “alinhamento” entre os vetores: positivo se apontam parecidos, negativo se apontam em direções opostas.
Agora calculo componente a componente para os vetores dados:
Observação imediata: o numerador é negativo, logo \cos\theta<0. Como \cos(\pi/2)=0 e \cos é decrescente em [0,\pi], isso já diz que
\theta>\frac{\pi}{2}.
Ou seja, o ângulo é obtuso (maior que \pi/2).
Passo 5
Comparação com valores conhecidos para englobar o ângulo no intervalo certo sem precisar calcular \operatorname{arccos} exatamente.
Conhecimentos úteis: \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 e \cos\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2}.
Quero ver se \cos\theta está entre 0 e -\tfrac{1}{2}, isto é, se
-\tfrac{1}{2} < \frac{-6}{\sqrt{546}} < 0.
A desigualdade à direita é verdadeira porque o numerador é negativo (logo menor que 0). Para a desigualdade à esquerda, verifico
\frac{-6}{\sqrt{546}} > -\tfrac{1}{2}
é equivalente (multiplicando por -1 e invertendo o sinal) a
\frac{6}{\sqrt{546}} < \tfrac{1}{2}.
Multiplico ambos os lados por 2\sqrt{546} (positivo), obtendo
12 < \sqrt{546}.
Como 12^2=144 e 546>144, segue que \sqrt{546}>12. Portanto a desigualdade é verdadeira. Logo
-\tfrac{1}{2} < \frac{-6}{\sqrt{546}} < 0.
Agora uso a monotonicidade do cosseno: como \cos é decrescente em [0,\pi], ter
Portanto \theta pertence ao intervalo aberto \left(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{2\pi}{3}\right), o que satisfaz a alternativa que pede \tfrac{\pi}{2}<\theta\le \tfrac{2\pi}{3}.
Como checagem rápida e para intuição: calculando aproximado \sqrt{546}\approx 23,3666, então