Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores (5,3,-1,-2) e (1,-3,2,0) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado pede o ângulo \theta entre os vetores (5,3,-1,-2) e (1,-3,2,0) em \mathbb{R}^4, e quer saber em qual das opções abaixo \theta se encontra:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi
Informações dadas (peguei do enunciado):
  • Vetor \mathbf{u}=(5,3,-1,-2).
  • Vetor \mathbf{v}=(1,-3,2,0).
O objetivo é calcular (ou comparar) o cosseno do ângulo \theta entre \mathbf{u} e \mathbf{v} e usar isso para identificar o intervalo correto.

Passo 2

Definição e cálculo do produto escalar (dot product).
  • Em \mathbb{R}^n, o produto escalar entre \mathbf{u}=(u_1,\dots,u_n) e \mathbf{v}=(v_1,\dots,v_n) é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{n} u_i v_i.
Cada termo é o produto das componentes correspondentes, e depois soma-se tudo. Isso dá uma medida da “alinhamento” entre os vetores: positivo se apontam parecidos, negativo se apontam em direções opostas.
Agora calculo componente a componente para os vetores dados:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=5\cdot1 + 3\cdot(-3) + (-1)\cdot2 + (-2)\cdot0.
Faço cada produto:
5\cdot1=5,\quad 3\cdot(-3)=-9,\quad (-1)\cdot2=-2,\quad (-2)\cdot0=0.
Somando:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=5-9-2+0=-6.

Passo 3

Definição e cálculo das normas (comprimentos).
  • A norma (ou comprimento) de \mathbf{u}=(u_1,\dots,u_n) é
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} u_i^2}.
É a raiz da soma dos quadrados das componentes.
Calculo para \mathbf{u}:
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{5^2+3^2+(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{25+9+1+4}=\sqrt{39}.
Calculo para \mathbf{v}:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{1^2+(-3)^2+2^2+0^2}=\sqrt{1+9+4+0}=\sqrt{14}.

Passo 4

Fórmula do ângulo via produto escalar e interpretação do sinal.
  • A relação entre produto escalar e ângulo é
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}.
A função cosseno é decrescente no intervalo [0,\pi]: valores maiores de cosseno correspondem a ângulos menores.
Substituindo os valores que calculei:
\cos\theta=\frac{-6}{\sqrt{39}\,\sqrt{14}}=\frac{-6}{\sqrt{546}}.
Observação imediata: o numerador é negativo, logo \cos\theta<0. Como \cos(\pi/2)=0 e \cos é decrescente em [0,\pi], isso já diz que
\theta>\frac{\pi}{2}.
Ou seja, o ângulo é obtuso (maior que \pi/2).

Passo 5

Comparação com valores conhecidos para englobar o ângulo no intervalo certo sem precisar calcular \operatorname{arccos} exatamente.
  • Conhecimentos úteis: \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 e \cos\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2}.
    Quero ver se \cos\theta está entre 0 e -\tfrac{1}{2}, isto é, se
-\tfrac{1}{2} < \frac{-6}{\sqrt{546}} < 0.
A desigualdade à direita é verdadeira porque o numerador é negativo (logo menor que 0). Para a desigualdade à esquerda, verifico
\frac{-6}{\sqrt{546}} > -\tfrac{1}{2}
é equivalente (multiplicando por -1 e invertendo o sinal) a
\frac{6}{\sqrt{546}} < \tfrac{1}{2}.
Multiplico ambos os lados por 2\sqrt{546} (positivo), obtendo
12 < \sqrt{546}.
Como 12^2=144 e 546>144, segue que \sqrt{546}>12. Portanto a desigualdade é verdadeira. Logo
-\tfrac{1}{2} < \frac{-6}{\sqrt{546}} < 0.
Agora uso a monotonicidade do cosseno: como \cos é decrescente em [0,\pi], ter
\cos\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2} < \cos\theta < 0=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)
implica
\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{2\pi}{3}.
Portanto \theta pertence ao intervalo aberto \left(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{2\pi}{3}\right), o que satisfaz a alternativa que pede \tfrac{\pi}{2}<\theta\le \tfrac{2\pi}{3}.
Como checagem rápida e para intuição: calculando aproximado \sqrt{546}\approx 23,3666, então
\cos\theta\approx \frac{-6}{23,3666}\approx -0,2568,
e \operatorname{arccos}(-0,2568)\approx 1,8326\\ \text{rad}\approx 105^\circ, que realmente está entre 90^\circ e 120^\circ.

Resposta

(E)

Exercícios relacionados