Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 5. Considere as afirmativas abaixo:
I - Nenhum subconjunto de V com 6 vetores é uma base de V.
II - Nenhum subconjunto de V com 4 vetores gera V.
III - Todo subconjunto LI de V possui no máximo 5 vetores.
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas I é verdadeira.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas III é verdadeira.
(H) Apenas II é verdadeira.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial de dimensão 5 e pede para avaliar três afirmativas sobre tamanhos de subconjuntos de V:
  • I. Conjuntos de 6 vetores não podem ser base.
  • II. Conjuntos de 4 vetores não geram V.
  • III. Todo conjunto linearmente independente (LI) tem no máximo 5 vetores.
    Para resolver usamos o fato fundamental da dimensão: num espaço de dimensão n,
  1. qualquer conjunto com mais de n vetores é linearmente dependente (LD),
  2. qualquer base tem exatamente n vetores,
  3. qualquer conjunto gerador tem pelo menos n vetores,
  4. qualquer conjunto LI tem no máximo n vetores.

Passo 2

Analisando I: “Nenhum subconjunto de V com 6 vetores é uma base de V.”
Como 6>5, todo conjunto de 6 vetores em V é LD e portanto não pode ser base (que exige LI). Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Analisando II: “Nenhum subconjunto de V com 4 vetores gera V.”
Como um conjunto gerador de V deve ter pelo menos \dim V=5 vetores, um conjunto com apenas 4 vetores não consegue gerar todo V. Logo, II é verdadeira.

Passo 4

Analisando III: “Todo subconjunto LI de V possui no máximo 5 vetores.”
Pelo teorema da dimensão, qualquer conjunto linearmente independente em V não pode ultrapassar \dim V=5 vetores. Logo, III é verdadeira.

Resposta

(B) Todas são verdadeiras.

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