Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 6. Considere as afirmativas abaixo:
I - Todo subconjunto LI de V possui no máximo 6 vetores.
II - Todo conjunto gerador de V com 6 vetores é uma base de V.
III - Nenhum subconjunto de V com 5 vetores gera V.
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Apenas I e II são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas I é verdadeira.
(F) Apenas I e III são verdadeiras.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Apenas II e III são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial de dimensão 6 e apresenta três afirmações sobre dependência linear, geração e base de V. Vamos usar os teoremas padrão de espaços vetoriais finito-dimensionais:
  • Em um espaço de dimensão n, todo subconjunto linearmente independente tem no máximo n vetores.
  • Em um espaço de dimensão n, todo conjunto gerador tem pelo menos n vetores.
  • Qualquer conjunto gerador com exatamente n vetores é automaticamente base (pois não sobra vetor para dependência).

Passo 2

Analisando I: “Todo subconjunto LI de V possui no máximo 6 vetores.”
Pelo teorema, em dimensão 6 não existe conjunto LI com mais de 6 vetores.
Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Analisando II: “Todo conjunto gerador de V com 6 vetores é uma base de V.”
Em dimensão 6, um conjunto gerador com 6 vetores tem cardinalidade igual à dimensão, logo não pode haver dependência entre eles e, portanto, é base.
Logo, II é verdadeira.

Passo 4

Analisando III: “Nenhum subconjunto de V com 5 vetores gera V.”
Em um espaço de dimensão 6, qualquer conjunto gerador precisa ter pelo menos 6 vetores. Assim, um conjunto com apenas 5 vetores não pode gerar todo V.
Logo, III é verdadeira.

Passo 5

Como I, II e III são todas verdadeiras, a alternativa correta é a que afirma “Todas são verdadeiras”.

Resposta

(G) todas são verdadeiras.

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