Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 6. Considere as afirmativas abaixo:
I - Todo subconjunto LI de
possui no máximo 6 vetores.
II - Todo conjunto gerador de
com 6 vetores é uma base de
.
III - Nenhum subconjunto de
com 5 vetores gera
.
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Apenas I e II são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas I é verdadeira.
(F) Apenas I e III são verdadeiras.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Apenas II e III são verdadeiras.
I - Todo subconjunto LI de
II - Todo conjunto gerador de
III - Nenhum subconjunto de
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Apenas I e II são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas I é verdadeira.
(F) Apenas I e III são verdadeiras.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Apenas II e III são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial de dimensão 6 e apresenta três afirmações sobre dependência linear, geração e base de
. Vamos usar os teoremas padrão de espaços vetoriais finito-dimensionais:
- Em um espaço de dimensão
, todo subconjunto linearmente independente tem no máximo vetores. - Em um espaço de dimensão
, todo conjunto gerador tem pelo menos vetores. - Qualquer conjunto gerador com exatamente
vetores é automaticamente base (pois não sobra vetor para dependência).
Passo 2
Analisando I: “Todo subconjunto LI de
possui no máximo 6 vetores.”
Pelo teorema, em dimensão 6 não existe conjunto LI com mais de 6 vetores.
Logo, I é verdadeira.
Pelo teorema, em dimensão 6 não existe conjunto LI com mais de 6 vetores.
Logo, I é verdadeira.
Passo 3
Analisando II: “Todo conjunto gerador de
com 6 vetores é uma base de
.”
Em dimensão 6, um conjunto gerador com 6 vetores tem cardinalidade igual à dimensão, logo não pode haver dependência entre eles e, portanto, é base.
Logo, II é verdadeira.
Em dimensão 6, um conjunto gerador com 6 vetores tem cardinalidade igual à dimensão, logo não pode haver dependência entre eles e, portanto, é base.
Logo, II é verdadeira.
Passo 4
Analisando III: “Nenhum subconjunto de
com 5 vetores gera
.”
Em um espaço de dimensão 6, qualquer conjunto gerador precisa ter pelo menos 6 vetores. Assim, um conjunto com apenas 5 vetores não pode gerar todo .
Logo, III é verdadeira.
Em um espaço de dimensão 6, qualquer conjunto gerador precisa ter pelo menos 6 vetores. Assim, um conjunto com apenas 5 vetores não pode gerar todo
Logo, III é verdadeira.
Passo 5
Como I, II e III são todas verdadeiras, a alternativa correta é a que afirma “Todas são verdadeiras”.
Resposta
(G) todas são verdadeiras.