Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 8. Considere as afirmativas abaixo:
I - Existe subconjunto LI de
com 9 vetores.
II - Nenhum subconjunto de
com 9 vetores é uma base de
.
III - Existe um subconjunto de
com 7 vetores que é LI e não gera
.
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Todas são falsas.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas III é verdadeira.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Apenas II é verdadeira.
(G) Apenas II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I - Existe subconjunto LI de
II - Nenhum subconjunto de
III - Existe um subconjunto de
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Todas são falsas.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas III é verdadeira.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Apenas II é verdadeira.
(G) Apenas II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial de dimensão
. Vamos usar os teoremas básicos de dimensão:
- Em um espaço de dimensão
, toda família de vetores linearmente independentes (LI) tem no máximo elementos. - Toda família geradora de
tem no mínimo elementos. - Uma família é base de
se, e só se, for LI e tiver exatamente vetores.
Com isso, analisaremos cada afirmativa.
Passo 2
Afirmativa I: “Existe subconjunto LI de
com
vetores.”
Pelo teorema da dimensão, em um espaço de dimensão não há como ter
vetores LI (qualquer conjunto com mais de
vetores é linearmente dependente).
Logo, I é falsa.
Pelo teorema da dimensão, em um espaço de dimensão
Logo, I é falsa.
Passo 3
Afirmativa II: “Nenhum subconjunto de
com
vetores é uma base de
.”
Uma base de deve ter exatamente
vetores. Qualquer conjunto com
vetores em
é linearmente dependente (pois excede a dimensão), então não pode ser uma base.
Logo, II é verdadeira.
Uma base de
Logo, II é verdadeira.
Passo 4
Afirmativa III: “Existe um subconjunto de
com
vetores que é LI e não gera
.”
Em dimensão , qualquer conjunto LI com menos de
vetores não pode gerar
. Basta escolher 7 vetores LI quaisquer; eles serão independentes mas não formarão sistema gerador.
Logo, III é verdadeira.
Em dimensão
Logo, III é verdadeira.
Resposta
G: Apenas II e III são verdadeiras.