Q15: Seja p(x)=1-4 x-5 x^{2} e
\beta=\left\{-2-2 x-4 x^{2}, \quad 1+2 x+3 x^{2}, \quad-2+x\right\}
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta; calcule o valor de c.
(A) -2
(B) 1
(C) -1
(D) 2
(E) -3
(F) -4
(G) 4
(H) 3

Passo 1

No enunciado temos o polinômio \displaystyle p(x)=1-4x-5x^2 e a base \beta=\{b_1,b_2,b_3\} onde
b_1=-2-2x-4x^2,\quad b_2=1+2x+3x^2,\quad b_3=-2+x.
Precisamos escrever p como combinação linear
p(x)=a\,b_1+b\,b_2+c\,b_3
e encontrar a coordenada c.

Passo 2

Para achar a,b,c igualamos coeficientes de cada potência de x. Primeiro expandimos a combinação:
a(-2-2x-4x^2)+b(1+2x+3x^2)+c(-2+x) =1-4x-5x^2.
Agora coletemos os termos em 1, em x e em x^2.

Passo 3

Comparando coeficientes obtemos o sistema
\begin{cases} -2a + b - 2c = 1,\\\\ -2a + 2b + c = -4,\\\\ -4a + 3b = -5. \end{cases}

Passo 4

Da terceira equação vem
b=\frac{4a-5}{3}.
Substituindo esse b nas duas primeiras e simplificando, chega-se a
2a+3c=-2, \quad 2a+6c=-8.
Subtraindo a primeira da segunda obtemos
3c=-6 \quad\Longrightarrow\quad c=-2.

Resposta

-2

Exercícios relacionados