Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{13}\right) \in \mathbb{R}^{13} tais que:
\left\{\begin{aligned} x_{6} & =x_{9} \\\ x_{10} & =x_{3} \\\ x_{6}-x_{10} & =x_{9}-x_{3} \end{aligned}\right.
A dimensão de S é:
(A) 3
(B) 4
(C) 13
(D) 10
(E) 2
(F) 9
(G) 11
(H) 12

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S dos vetores \left(x_{1},\dots,x_{13}\right)\in\mathbb{R}^{13} que satisfazem as três igualdades:
\left\{\begin{aligned} x_{6} &= x_{9} \\\ x_{10} &= x_{3} \\\ x_{6}-x_{10} &= x_{9}-x_{3} \end{aligned}\right.
O que se pede: determinar a dimensão de S. Também são dadas as alternativas (A) a (H), mas aqui o objetivo é achar o valor numérico da dimensão de S.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O espaço ambiente é \mathbb{R}^{13}, ou seja, há 13 coordenadas/variáveis x_{1},\dots,x_{13}.
  • Há três relações lineares entre essas coordenadas (as três equações acima).
  • Precisamos decidir quantas dessas relações são independentes e, a partir disso, obter a dimensão do conjunto solução.

Passo 2

Tratar as três igualdades como um sistema linear homogêneo. Escrevendo as equações de forma claramente linear:
\begin{cases} x_{6}-x_{9}=0,\\[4pt] x_{10}-x_{3}=0,\\[4pt] x_{6}-x_{10}-x_{9}+x_{3}=0. \end{cases}
Cada linha é uma equação linear nas 13 incógnitas. O conjunto S é o espaço dos vetores que anulam essas equações (ou seja, o núcleo de uma matriz de coeficientes).
Breve explicação: um sistema homogêneo A x = 0 com n incógnitas tem espaço de soluções cujo dimensão é n-\operatorname{rank}(A). Aqui n=13 e \operatorname{rank}(A) é o número de equações linearmente independentes.]

Passo 3

Verificar se as três equações são independentes ou se há dependência entre elas.
Observe que, tomando a primeira e a segunda equação,
\text{(1)}\quad x_{6}-x_{9}=0,\qquad \text{(2)}\quad x_{10}-x_{3}=0,
temos
\text{(1)} - \text{(2)} \;=\; (x_{6}-x_{9}) - (x_{10}-x_{3}) = x_{6}-x_{10}-x_{9}+x_{3},
que é exatamente a terceira equação. Logo a terceira equação é uma combinação linear das duas primeiras (mais precisamente, terceira = primeira - segunda). Portanto as três equações não são independentes: há apenas duas equações lineares independentes.

Passo 4

Concluir o posto (rank) do sistema e aplicar o teorema da dimensão (rank-nullity).
Explicação do conceito usado:
  • \operatorname{rank}(A) é o número máximo de equações linearmente independentes (ou o número máximo de colunas/linhas linearmente independentes da matriz dos coeficientes).
  • Para um sistema homogêneo em n variáveis, a dimensão do espaço solução (núcleo) é
\dim(\ker A)=n-\operatorname{rank}(A).
Aqui temos n=13 variáveis e, conforme Passo 3, \operatorname{rank}(A)=2 (duas equações independentes).
Portanto
\dim(S)=13-2=11.

Passo 5

Dar uma parametrização concreta de S para ficar bem claro como aparecem as 11 graus de liberdade.
Escolha como variáveis livres as coordenadas
x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8},x_{11},x_{12},x_{13}.
Denote-as por parâmetros
t_{1}=x_{1},\, t_{2}=x_{2},\, t_{3}=x_{3},\, t_{4}=x_{4},\, t_{5}=x_{5},\, t_{6}=x_{6},\, t_{7}=x_{7},\, t_{8}=x_{8},\, t_{9}=x_{11},\, t_{10}=x_{12},\, t_{11}=x_{13}.
Pelas restrições, as restantes coordenadas ficam determinadas por
x_{9}=x_{6}=t_{6},\qquad x_{10}=x_{3}=t_{3}.
Assim um vetor genérico de S é
\left(x_{1},\dots,x_{13}\right) = \left(t_{1},t_{2},t_{3},t_{4},t_{5},t_{6},t_{7},t_{8},t_{6},t_{3},t_{9},t_{10},t_{11}\right),
ou seja, há 11 parâmetros livres t_{1},\dots,t_{11}. Isso confirma que \dim(S)=11.

Resposta

(G) 11

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