Q16: Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}.
Considere as afirmativas abaixo:
I) Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} são coplanares, então S é LD.
II) Se A é LD, então S não pode ser LI.
III) Se A e B são LIs, então C é LI.
(A) Só II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Só I e II são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Só I é verdadeira.
(H) Só I e III são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado nos dá um conjunto S=\left\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\right\} de três vetores distintos em \mathbb{R}^{3}. Define-se
A=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\},\qquad B=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{3}\},\qquad C=\{\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}.
As três afirmativas a analisar são:
I) Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} são coplanares, então S é LD.
II) Se A é LD, então S não pode ser LI.
III) Se A e B são LIs, então C é LI.
O objetivo é decidir quais dessas afirmativas são verdadeiras ou falsas, usando apenas as informações acima.

Passo 2

Antes de avaliar cada afirmativa, vamos recordar definições e propriedades essenciais (passo-a-passo e com exemplos):
  • Definição de independência linear (LI): um conjunto de vetores é LI se a única solução para
\alpha_{1}\vec{u}_{1}+\alpha_{2}\vec{u}_{2}+\cdots+\alpha_{k}\vec{u}_{k}=\vec{0}
é \alpha_{1}=\alpha_{2}=\cdots=\alpha_{k}=0. Se existir uma solução com alguma \alpha_{i}\neq 0, o conjunto é LD.
  • Propriedade útil 1: Se um subconjunto de vetores é LD, então qualquer conjunto que o contenha também é LD. Raciocínio curto: a combinação linear não-trivial que faz zero naquele subconjunto continua válida ao acrescentar os outros vetores com coeficiente zero.
  • Propriedade útil 2 (dimensão): em \mathbb{R}^{3} a dimensão é 3. Qualquer conjunto com mais de 3 vetores é LD. Mais relevante aqui: qualquer conjunto de vetores contido em um plano (subespaço de dimensão \le 2) tem dimensão máxima 2; portanto três vetores dentro do mesmo plano são LD.
  • Observação sobre vetores colineares/pares: dois vetores são LD exatamente quando um é múltiplo escalar do outro (ou quando um é o vetor zero). Dois vetores não múltiplos entre si são LI.
Com essas ferramentas podemos analisar as afirmativas.

Passo 3

Analisando I: “Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} são coplanares, então S é LD.”
Explicação detalhada: quando dizemos que três vetores são coplanares no contexto de vetores (não apenas pontos), significa que todos pertencem a um mesmo subespaço de dimensão 2 (um plano que passa pela origem) ou menor. Em um subespaço de dimensão 2 não é possível ter três vetores linearmente independentes, porque a dimensão máxima de um conjunto LI nesse subespaço é 2. Logo qualquer conjunto com três vetores nesse plano é LD — existe combinação não-trivial que produz \vec{0}.
Portanto a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

Analisando II: “Se A é LD, então S não pode ser LI.”
Explicação passo-a-passo: A ser LD significa que existem escalares a,b, não ambos nulos, tais que
a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}=\vec{0}.
Agora considere S. A mesma combinação com coeficiente zero para \vec{v}_{3},
a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}+0\cdot\vec{v}_{3}=\vec{0},
é uma combinação linear não-trivial que anula vetores de S (porque a e b não são ambos zero). Isso mostra que S é LD. Logo S não pode ser LI. Essa é uma consequência direta da propriedade de que qualquer conjunto que contenha um subconjunto LD é LD.
Portanto a afirmativa II é verdadeira.

Passo 5

Analisando III: “Se A e B são LIs, então C é LI.”
Vamos testar se isso deve ser sempre verdade. Uma maneira forte de checar é procurar um contraexemplo concreto — se existir um exemplo com A e B LI mas C LD, então a afirmativa é falsa.
Construa vetores explícitos em \mathbb{R}^{3}:
\vec{v}_{1}=(0,1,0),\qquad \vec{v}_{2}=(1,0,0),\qquad \vec{v}_{3}=(2,0,0).
Observações:
  • \vec{v}_{2} e \vec{v}_{3} são múltiplos escalares ( \vec{v}_{3}=2\vec{v}_{2}), portanto o par C=\{\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é LD.
  • Verificar A=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\} é LI: suponha \alpha\vec{v}_{1}+\beta\vec{v}_{2}=\vec{0}. Isso dá em coordenadas (\beta,\alpha,0)=(0,0,0), logo \alpha=0 e \beta=0. Assim A é LI.
  • Verificar B=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{3}\} é LI: \vec{v}_{3} é paralelo a \vec{v}_{2} (e diferente de \vec{v}_{1}), então \vec{v}_{1} não é múltiplo de \vec{v}_{3}; fazendo a mesma verificação de coeficientes nota-se que só a solução trivial anula a combinação. Logo B é LI.
Neste exemplo temos A LI, B LI e C LD. Os vetores são distintos conforme exigido. Portanto a afirmativa III não vale em geral — foi encontrada contraexemplo que a refuta.
Conclusão: III é falsa.

Passo 6

Resumo das veredictos:
  • I é verdadeira.
  • II é verdadeira.
  • III é falsa.
Comparando com as alternativas fornecidas, a opção que diz “Só I e II são verdadeiras” é a correta.

Resposta

(C)

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