Q16: Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
.
Considere as afirmativas abaixo:
I) Se
são coplanares, então
é LD.
II) Se
é LD, então
não pode ser LI.
III) Se
e
são LIs, então
é LI.
(A) Só II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Só I e II são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Só I é verdadeira.
(H) Só I e III são verdadeiras.
Considere as afirmativas abaixo:
I) Se
II) Se
III) Se
(A) Só II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Só I e II são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Só I é verdadeira.
(H) Só I e III são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado nos dá um conjunto
de três vetores distintos em
. Define-se
As três afirmativas a analisar são:
I) Se são coplanares, então
é LD.
II) Se é LD, então
não pode ser LI.
III) Se e
são LIs, então
é LI.
I) Se
II) Se
III) Se
O objetivo é decidir quais dessas afirmativas são verdadeiras ou falsas, usando apenas as informações acima.
Passo 2
Antes de avaliar cada afirmativa, vamos recordar definições e propriedades essenciais (passo-a-passo e com exemplos):
- Definição de independência linear (LI): um conjunto de vetores é LI se a única solução para
é
. Se existir uma solução com alguma
, o conjunto é LD.
- Propriedade útil 1: Se um subconjunto de vetores é LD, então qualquer conjunto que o contenha também é LD. Raciocínio curto: a combinação linear não-trivial que faz zero naquele subconjunto continua válida ao acrescentar os outros vetores com coeficiente zero.
- Propriedade útil 2 (dimensão): em
a dimensão é . Qualquer conjunto com mais de vetores é LD. Mais relevante aqui: qualquer conjunto de vetores contido em um plano (subespaço de dimensão ) tem dimensão máxima ; portanto três vetores dentro do mesmo plano são LD. - Observação sobre vetores colineares/pares: dois vetores são LD exatamente quando um é múltiplo escalar do outro (ou quando um é o vetor zero). Dois vetores não múltiplos entre si são LI.
Com essas ferramentas podemos analisar as afirmativas.
Passo 3
Analisando I: “Se
são coplanares, então
é LD.”
Explicação detalhada: quando dizemos que três vetores são coplanares no contexto de vetores (não apenas pontos), significa que todos pertencem a um mesmo subespaço de dimensão
(um plano que passa pela origem) ou menor. Em um subespaço de dimensão
não é possível ter três vetores linearmente independentes, porque a dimensão máxima de um conjunto LI nesse subespaço é
. Logo qualquer conjunto com três vetores nesse plano é LD — existe combinação não-trivial que produz
.
Portanto a afirmativa I é verdadeira.
Passo 4
Analisando II: “Se
é LD, então
não pode ser LI.”
Explicação passo-a-passo:
ser LD significa que existem escalares
, não ambos nulos, tais que
Agora considere
. A mesma combinação com coeficiente zero para
,
é uma combinação linear não-trivial que anula vetores de
(porque
e
não são ambos zero). Isso mostra que
é LD. Logo
não pode ser LI. Essa é uma consequência direta da propriedade de que qualquer conjunto que contenha um subconjunto LD é LD.
Portanto a afirmativa II é verdadeira.
Passo 5
Analisando III: “Se
e
são LIs, então
é LI.”
Vamos testar se isso deve ser sempre verdade. Uma maneira forte de checar é procurar um contraexemplo concreto — se existir um exemplo com
e
LI mas
LD, então a afirmativa é falsa.
Construa vetores explícitos em
:
Observações:
-
e são múltiplos escalares ( ), portanto o par é LD. - Verificar
é LI: suponha . Isso dá em coordenadas , logo e . Assim é LI. - Verificar
é LI: é paralelo a (e diferente de ), então não é múltiplo de ; fazendo a mesma verificação de coeficientes nota-se que só a solução trivial anula a combinação. Logo é LI.
Neste exemplo temos
LI,
LI e
LD. Os vetores são distintos conforme exigido. Portanto a afirmativa III não vale em geral — foi encontrada contraexemplo que a refuta.
Conclusão: III é falsa.
Passo 6
Resumo das veredictos:
- I é verdadeira.
- II é verdadeira.
- III é falsa.
Comparando com as alternativas fornecidas, a opção que diz “Só I e II são verdadeiras” é a correta.
Resposta
(C)