Q10: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rr|r} -2 & -1 & -6 \\\\ -2 & -4 & -9 \\\\ 1 & -1 & -3 \end{array}\right] .
Assinale o valor de x_{2}, a 2^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
( \sqrt{ } ) 2
(B) 1
(C) -1
(D) -2
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A\vec{x}=\vec{b} cujo sistema é dado pela matriz aumentada
\left[\begin{array}{rr|r} -2 & -1 & -6 \\\\ -2 & -4 & -9 \\\\ 1 & -1 & -3 \end{array}\right].
As informações fornecidas que vou usar são:
  • A matriz A (linhas como equações, colunas como variáveis) é
A=\begin{pmatrix}-2 & -1\\\\ -2 & -4\\\\ 1 & -1\end{pmatrix}.
  • O vetor \vec{b} é
\vec{b}=\begin{pmatrix}-6\\\ -9\\\ -3\end{pmatrix}.
O que o enunciado pergunta explicitamente: determinar x_{2}, a segunda componente da solução \vec{x} que minimiza o erro quadrático \|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}.

Passo 2

Rápida explicação do método de mínimos quadrados (fórmula que vou usar).
  • O objetivo é encontrar \vec{x} que minimiza a função objetivo
f(\vec{x})=\|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}=(A\vec{x}-\vec{b})^{T}(A\vec{x}-\vec{b}).
  • Derivando e igualando a zero (condição de mínimo) obtém-se as equações normais
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Essa é a forma padrão para obter a solução de mínimos quadrados quando as equações originais são possivelmente inconsistentes. Aqui \vec{x} é o vetor incógnita \vec{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular A^{T}A. Primeiro escrevo as colunas de A:
  • primeira coluna de A: (-2,\,-2,\,1)^{T},
  • segunda coluna de A: (-1,\,-4,\,-1)^{T}.
Agora computo as entradas de A^{T}A como produtos escalares entre colunas:
(A^{T}A)_{11} = (-2)^{2}+(-2)^{2}+1^{2}=4+4+1=9,
(A^{T}A)_{12}=(A^{T}A)_{21}=(-2)(-1)+(-2)(-4)+1(-1)=2+8-1=9,
(A^{T}A)_{22}=(-1)^{2}+(-4)^{2}+(-1)^{2}=1+16+1=18.
Portanto
A^{T}A=\begin{pmatrix}9 & 9\\[4pt]9 & 18\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular A^{T}\vec{b}. Faço os produtos escalares coluna de A com \vec{b}:
(A^{T}\vec{b})_{1}=(-2)(-6)+(-2)(-9)+1(-3)=12+18-3=27,
(A^{T}\vec{b})_{2}=(-1)(-6)+(-4)(-9)+(-1)(-3)=6+36+3=45.
Logo
A^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix}27\\[4pt]45\end{pmatrix}.]

Passo 5

Escrevo as equações normais explicitamente:
\begin{pmatrix}9 & 9\\[4pt]9 & 18\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}27\\[4pt]45\end{pmatrix}.
Posso simplificar dividindo cada linha por 9 (facilita os cálculos):
\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Isso corresponde ao sistema de duas equações:
\begin{cases} x_{1}+x_{2}=3,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}=5. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema para obter x_{2} (e x_{1} se precisar).
  • Subtraio a primeira equação da segunda:
(x_{1}+2x_{2})-(x_{1}+x_{2})=5-3 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=2.
  • Com x_{2}=2 volto na primeira equação para achar x_{1}:
x_{1}+2=3 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=1.
Assim a solução de mínimos quadrados é \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}, portanto x_{2}=2.]

Resposta

2

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