Q9: Considere a base ORTOGONAL de
e o vetor
.
Calcule a
coordenada de
com relação à base
.
( ✓ ) -3
(B) -2
(C) 2
(D) 3
(E) Não sei
Calcule a
( ✓ ) -3
(B) -2
(C) 2
(D) 3
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- A base
é ORTOGONAL. -
. -
.
O que o problema pede:
- Calcular a terceira coordenada de
em relação à base . Ou seja, encontrar o coeficiente tal que, na escrita
determinar
.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (e por que ela vale). Para uma base ortogonal
vale que
sempre que
. Tomando o produto escalar de
com
obtemos
Pela ortogonalidade todos os produtos
com
são zero, restando
Logo a coordenada buscada é
Breve explicação do produto escalar: para vetores
e
,
Usaremos isso para calcular numerador e denominador acima.
Passo 3
Calcular o numerador
. Substituindo
e
,
Agora as contas, termo a termo:
Somando:
Passo 4
Calcular o denominador
(norma ao quadrado de
). Com
,
Calculando:
logo
Passo 5
Aplicar a fórmula para
:
Interpretação rápida e incentivo: isso significa que a componente de
na direção de
é
vezes
. Segue firme — com essa técnica de projeção em bases ortogonais dá para achar qualquer coordenada fácil e sem sistemas complicados!