Q9: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{4}
\beta=\left\{\vec{q}_{1}, \vec{q}_{2}, \vec{q}_{3}, \vec{q}_{4}\right\}, \text { com } \vec{q}_{3}=(-1,1,3,-1)
e o vetor \vec{v}=(6,-6,-6,6).
Calcule a 3^{\text {a }} coordenada de \vec{v} com relação à base \beta.
( ✓ ) -3
(B) -2
(C) 2
(D) 3
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A base \beta=\{\vec{q}_{1},\vec{q}_{2},\vec{q}_{3},\vec{q}_{4}\} é ORTOGONAL.
  • \vec{q}_{3}=(-1,1,3,-1).
  • \vec{v}=(6,-6,-6,6).
O que o problema pede:
  • Calcular a terceira coordenada de \vec{v} em relação à base \beta. Ou seja, encontrar o coeficiente c_{3} tal que, na escrita
\vec{v}=c_{1}\vec{q}_{1}+c_{2}\vec{q}_{2}+c_{3}\vec{q}_{3}+c_{4}\vec{q}_{4},
determinar c_{3}.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (e por que ela vale). Para uma base ortogonal \{\vec{q}_{i}\} vale que \vec{q}_{i}\cdot\vec{q}_{j}=0 sempre que i\neq j. Tomando o produto escalar de \vec{v}=\sum_{i}c_{i}\vec{q}_{i} com \vec{q}_{3} obtemos
\vec{v}\cdot\vec{q}_{3}=c_{1}(\vec{q}_{1}\cdot\vec{q}_{3})+c_{2}(\vec{q}_{2}\cdot\vec{q}_{3})+c_{3}(\vec{q}_{3}\cdot\vec{q}_{3})+c_{4}(\vec{q}_{4}\cdot\vec{q}_{3}).
Pela ortogonalidade todos os produtos \vec{q}_{i}\cdot\vec{q}_{3} com i\neq3 são zero, restando
\vec{v}\cdot\vec{q}_{3}=c_{3}\,(\vec{q}_{3}\cdot\vec{q}_{3}).
Logo a coordenada buscada é
c_{3}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{q}_{3}}{\vec{q}_{3}\cdot\vec{q}_{3}}.
Breve explicação do produto escalar: para vetores \vec{a}=(a_{1},\dots,a_{4}) e \vec{b}=(b_{1},\dots,b_{4}),
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4}.
Usaremos isso para calcular numerador e denominador acima.

Passo 3

Calcular o numerador \vec{v}\cdot\vec{q}_{3}. Substituindo \vec{v}=(6,-6,-6,6) e \vec{q}_{3}=(-1,1,3,-1),
\vec{v}\cdot\vec{q}_{3} = 6\cdot(-1) + (-6)\cdot 1 + (-6)\cdot 3 + 6\cdot(-1).
Agora as contas, termo a termo:
6\cdot(-1) = -6,\quad (-6)\cdot 1 = -6,\quad (-6)\cdot 3 = -18,\quad 6\cdot(-1) = -6.
Somando:
\vec{v}\cdot\vec{q}_{3} = -6 + (-6) + (-18) + (-6) = -36.

Passo 4

Calcular o denominador \vec{q}_{3}\cdot\vec{q}_{3} (norma ao quadrado de \vec{q}_{3}). Com \vec{q}_{3}=(-1,1,3,-1),
\vec{q}_{3}\cdot\vec{q}_{3} = (-1)^{2} + 1^{2} + 3^{2} + (-1)^{2}.
Calculando:
(-1)^{2}=1,\quad 1^{2}=1,\quad 3^{2}=9,\quad (-1)^{2}=1,
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\vec{q}_{3}\cdot\vec{q}_{3} = 1+1+9+1 = 12.

Passo 5

Aplicar a fórmula para c_{3}:
c_{3}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{q}_{3}}{\vec{q}_{3}\cdot\vec{q}_{3}}=\frac{-36}{12}=-3.
Interpretação rápida e incentivo: isso significa que a componente de \vec{v} na direção de \vec{q}_{3} é -3 vezes \vec{q}_{3}. Segue firme — com essa técnica de projeção em bases ortogonais dá para achar qualquer coordenada fácil e sem sistemas complicados!

Resposta

-3

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