Q13: Sabendo que para uma determinada matriz A_{2 \times 2}
  • (0,7) é uma solução do sistema linear A \vec{x}=\overrightarrow{0} e
  • (3,2) é uma solução do sistema linear A \vec{x}=(5,-2),
    qual das alternativas abaixo é uma solução do sistema linear A \vec{x}=(15,-6) ?
    (A) (6,7)
    (B) (8,-6)
    (C) (9,4)
    (D) (7,5)
    (E) (5,-2)
    (F) (4,3)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou colocar exatamente os vetores e o que é pedido):
  • A matriz A é 2\times2.
  • (0,7) é solução do sistema homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0}.
  • (3,2) é solução do sistema A\vec{x}=(5,-2).
    A pergunta: qual das alternativas listadas é uma solução do sistema A\vec{x}=(15,-6)?

Passo 2

Primeira ideia importante (aula rápida de colunas): escrever A pelas suas colunas. Se as colunas de A são \vec{c}_1 e \vec{c}_2, então para qualquer \vec{x}=(x_1,x_2) vale
A\vec{x}=x_1\vec{c}_1+x_2\vec{c}_2.
Isto significa que multiplicar A por um vetor é formar uma combinação linear das colunas de A com coeficientes os componentes de \vec{x}.

Passo 3

Usar a informação (0,7) é solução de A\vec{x}=\overrightarrow{0}. Aplicando a fórmula das colunas:
A(0,7)=0\cdot\vec{c}_1+7\cdot\vec{c}_2=\overrightarrow{0}.
Isto implica
7\vec{c}_2=\overrightarrow{0}\quad\Longrightarrow\quad \vec{c}_2=\overrightarrow{0},
pois 7\neq0. Conclusão importante: a segunda coluna de A é o vetor nulo.

Passo 4

Agora usar A(3,2)=(5,-2). Com \vec{c}_2=\overrightarrow{0} temos
A(3,2)=3\vec{c}_1+2\vec{c}_2=3\vec{c}_1+2\cdot\overrightarrow{0}=3\vec{c}_1.
Portanto
3\vec{c}_1=(5,-2)\quad\Longrightarrow\quad \vec{c}_1=\frac{1}{3}(5,-2)=\left(\frac{5}{3},-\frac{2}{3}\right).

Passo 5

Agora já conhecemos as colunas de A:
\vec{c}_1=\left(\frac{5}{3},-\frac{2}{3}\right),\qquad \vec{c}_2=\overrightarrow{0}.
Logo, para um vetor arbitrário \vec{x}=(x_1,x_2) vale
A\vec{x}=x_1\vec{c}_1+x_2\vec{c}_2=x_1\vec{c}_1+x_2\cdot\overrightarrow{0}=x_1\vec{c}_1.
Ou seja, o resultado depende só de x_1; x_2 é livre (qualquer valor).

Passo 6

Queremos \vec{x} tal que A\vec{x}=(15,-6). Como A\vec{x}=x_1\vec{c}_1, impondo
x_1\left(\frac{5}{3},-\frac{2}{3}\right)=(15,-6)
basta resolver para x_1. Pela primeira componente:
\frac{5}{3}x_1=15\quad\Longrightarrow\quad x_1=15\cdot\frac{3}{5}=9.
Verificando pela segunda componente:
-\frac{2}{3}x_1=-6\quad\Longrightarrow\quad x_1=-6\cdot\frac{3}{-2}=9,
coerente. Portanto x_1 deve ser 9 e x_2 pode ser qualquer número.

Passo 7

Conclusão prática: todo vetor da forma (9,t) (com t arbitrário) é solução de A\vec{x}=(15,-6). Agora escolhemos, entre as alternativas dadas, aquela cujo primeiro componente é 9.
Examinar opções: (6,7), (8,-6), (9,4), (7,5), (5,-2), (4,3).
(9,4) tem primeira componente 9.
Também podemos verificar diretamente:
A(9,4)=9\vec{c}_1+4\vec{c}_2=9\vec{c}_1+4\cdot\overrightarrow{0}=9\left(\frac{5}{3},-\frac{2}{3}\right)=(15,-6),
confirmando que (9,4) funciona.

Resposta

(C) (9,4)

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