Q13: Sabendo que para uma determinada matriz
-
é uma solução do sistema linear
e
-
é uma solução do sistema linear
,
qual das alternativas abaixo é uma solução do sistema linear
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
qual das alternativas abaixo é uma solução do sistema linear
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou colocar exatamente os vetores e o que é pedido):
- A matriz
é . -
é solução do sistema homogêneo . -
é solução do sistema .
A pergunta: qual das alternativas listadas é uma solução do sistema?
Passo 2
Primeira ideia importante (aula rápida de colunas): escrever
pelas suas colunas. Se as colunas de
são
e
, então para qualquer
vale
Isto significa que multiplicar
por um vetor é formar uma combinação linear das colunas de
com coeficientes os componentes de
.
Passo 3
Usar a informação
é solução de
. Aplicando a fórmula das colunas:
Isto implica
pois
. Conclusão importante: a segunda coluna de
é o vetor nulo.
Passo 4
Agora usar
. Com
temos
Portanto
Passo 5
Agora já conhecemos as colunas de
:
Logo, para um vetor arbitrário
vale
Ou seja, o resultado depende só de
;
é livre (qualquer valor).
Passo 6
Queremos
tal que
. Como
, impondo
basta resolver para
. Pela primeira componente:
Verificando pela segunda componente:
coerente. Portanto
deve ser
e
pode ser qualquer número.
Passo 7
Conclusão prática: todo vetor da forma
(com
arbitrário) é solução de
. Agora escolhemos, entre as alternativas dadas, aquela cujo primeiro componente é
.
Examinar opções:
.
Só tem primeira componente
.
Só
Também podemos verificar diretamente:
confirmando que
funciona.
Resposta
(C)