O enunciado pede: resolver o sistema linear representado pela matriz aumentada abaixo e determinar o valor da primeira incógnita (isto é, o valor de x_{1}):
Informações dadas (extraídas diretamente da matriz aumentada):
Existem três incógnitas que chamaremos de x_{1},x_{2},x_{3}.
As quatro linhas correspondem às quatro equações do sistema (é um sistema possivelmente sobredeterminado, com 4 equações e 3 incógnitas).
A primeira linha dá a equação \;1\cdot x_{1} -3\cdot x_{2} + 0\cdot x_{3} = -3\;.
A segunda linha dá a equação \;-2\cdot x_{1} +3\cdot x_{2} -2\cdot x_{3} = 2\;.
A terceira linha dá a equação \;-1\cdot x_{1} +9\cdot x_{2} +7\cdot x_{3} = 8\;.
A quarta linha dá a equação \;2\cdot x_{1} -3\cdot x_{2} -7\cdot x_{3} = 7\;.
O que é pedido especificamente: o valor numérico de x_{1}. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Breve lembrete didático antes de começar a operar: usar eliminação de Gauss sobre a matriz aumentada significa aplicar operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar um múltiplo de uma linha a outra). Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema, e permitem transformar a matriz numa forma triangular para depois fazer substituição regressiva (back-substitution).
Escrevendo as linhas iniciais (vou usar R_i para indicar a linha i):
R_1: \;[\,1\; -3\; 0 \;|\; -3\,]
R_2: \;[\, -2\; 3\; -2 \;|\; 2\,]
R_3: \;[\, -1\; 9\; 7 \;|\; 8\,]
R_4: \;[\, 2\; -3\; -7 \;|\; 7\,]
Vou usar R_j \leftarrow R_j + k R_i para indicar que substituo a linha j pela soma da linha j com k vezes a linha i.
Passo 3
Usar R_1 como pivô para zerar as entradas abaixo da primeira coluna.
Eliminação em R_2: faço R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1.
Cálculo elemento a elemento:
Escolher um pivô na segunda coluna entre as linhas 2–4. Para facilitar os cálculos, multiplico a segunda linha por -1 (operação permitida) para obter um pivô positivo:
Faço R_2 \leftarrow -R_2, então
R_2 \leftarrow [\,0\; 3\; 2 \;|\; 4\,].
Agora elemento por elemento uso R_2 para zerar as entradas nas outras linhas da coluna 2 (acima e abaixo).
Eliminar em R_3: faço R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2 porque 6 - 2\cdot 3 = 0.
Cálculo:
segunda coluna: 6 - 2\cdot 3 = 0.
terceira coluna: 7 - 2\cdot 2 = 7 - 4 = 3.
lado direito: 5 - 2\cdot 4 = 5 - 8 = -3.
Portanto
R_3 \leftarrow [\,0\; 0\; 3 \;|\; -3\,].
Eliminar em R_4: faço R_4 \leftarrow R_4 - 1\cdot R_2 porque 3 - 1\cdot 3 = 0.
Cálculo:
Agora a terceira linha tem um pivô na terceira coluna: 3 em R_3. Primeiro vejo a equação associada a R_3:
3 x_{3} = -3.
Isso permite resolver diretamente x_{3}. Fazendo a divisão (explicando bem: dividir ambos os lados por 3, operação válida porque 3\neq 0):
x_{3} = \frac{-3}{3} = -1.
Verifico consistência com R_4: R_4 é [0\;0\; -9 \;|\; 9]. Substituindo x_{3}=-1 na equação de R_4 dá -9\cdot(-1)=9, isto é 9=9, que é verdadeiro. Ou alternativamente, posso usar R_4 \leftarrow R_4 + 3R_3 para zerá-la: -9 + 3\cdot 3 = 0 e 9 + 3\cdot(-3) = 0, ficando a linha nula, o que mostra consistência (sem contradição).
Passo 6
Agora faço a substituição regressiva para encontrar x_{2} e x_{1}.
Uso a linha R_2 (que corresponde a 3 x_{2} + 2 x_{3} = 4). Substituo x_{3} = -1:
Resumo dos valores encontrados (verificados nas equações):
x_{1} = 3,\qquad x_{2} = 2,\qquad x_{3} = -1.
O sistema é consistente e tem solução única (as primeiras três linhas formaram um sistema triangular com pivôs não nulos; a quarta linha ficou redundante/linearmente dependente).
Força aí — já era, conseguiu! O que interessa pra prova é x_{1}=3.