Q7: Resolva o sistema abaixo representado pela sua matriz aumentada e determine o valor da 1{ }^{\text {a }} incógnita.
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -3 & 0 & -3 \\\\ -2 & 3 & -2 & 2 \\\\ -1 & 9 & 7 & 8 \\\\ 2 & -3 & -7 & 7 \end{array}\right]
(A) 4
(B) -1
(C) -3
(D) 3
(E) -2

Passo 1

O enunciado pede: resolver o sistema linear representado pela matriz aumentada abaixo e determinar o valor da primeira incógnita (isto é, o valor de x_{1}):
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -3 & 0 & -3 \\\\ -2 & 3 & -2 & 2 \\\\ -1 & 9 & 7 & 8 \\\\ 2 & -3 & -7 & 7 \end{array}\right]
Informações dadas (extraídas diretamente da matriz aumentada):
  • Existem três incógnitas que chamaremos de x_{1},x_{2},x_{3}.
  • As quatro linhas correspondem às quatro equações do sistema (é um sistema possivelmente sobredeterminado, com 4 equações e 3 incógnitas).
  • A primeira linha dá a equação \;1\cdot x_{1} -3\cdot x_{2} + 0\cdot x_{3} = -3\;.
  • A segunda linha dá a equação \;-2\cdot x_{1} +3\cdot x_{2} -2\cdot x_{3} = 2\;.
  • A terceira linha dá a equação \;-1\cdot x_{1} +9\cdot x_{2} +7\cdot x_{3} = 8\;.
  • A quarta linha dá a equação \;2\cdot x_{1} -3\cdot x_{2} -7\cdot x_{3} = 7\;.
O que é pedido especificamente: o valor numérico de x_{1}. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Breve lembrete didático antes de começar a operar: usar eliminação de Gauss sobre a matriz aumentada significa aplicar operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar um múltiplo de uma linha a outra). Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema, e permitem transformar a matriz numa forma triangular para depois fazer substituição regressiva (back-substitution).
Escrevendo as linhas iniciais (vou usar R_i para indicar a linha i):
R_1: \;[\,1\; -3\; 0 \;|\; -3\,]
R_2: \;[\, -2\; 3\; -2 \;|\; 2\,]
R_3: \;[\, -1\; 9\; 7 \;|\; 8\,]
R_4: \;[\, 2\; -3\; -7 \;|\; 7\,]
Vou usar R_j \leftarrow R_j + k R_i para indicar que substituo a linha j pela soma da linha j com k vezes a linha i.

Passo 3

Usar R_1 como pivô para zerar as entradas abaixo da primeira coluna.
  1. Eliminação em R_2: faço R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1.
    Cálculo elemento a elemento:
  • primeira coluna: -2 + 2\cdot 1 = 0.
  • segunda coluna: 3 + 2\cdot(-3) = 3 - 6 = -3.
  • terceira coluna: -2 + 2\cdot 0 = -2.
  • lado direito: 2 + 2\cdot(-3) = 2 - 6 = -4.
    Portanto
R_2 \leftarrow [\,0\; -3\; -2 \;|\; -4\,].
  1. Eliminação em R_3: faço R_3 \leftarrow R_3 + R_1.
    Cálculo:
  • primeira coluna: -1 + 1 = 0.
  • segunda coluna: 9 + (-3) = 6.
  • terceira coluna: 7 + 0 = 7.
  • lado direito: 8 + (-3) = 5.
    Portanto
R_3 \leftarrow [\,0\; 6\; 7 \;|\; 5\,].
  1. Eliminação em R_4: faço R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1.
    Cálculo:
  • primeira coluna: 2 - 2\cdot 1 = 0.
  • segunda coluna: -3 - 2\cdot(-3) = -3 + 6 = 3.
  • terceira coluna: -7 - 2\cdot 0 = -7.
  • lado direito: 7 - 2\cdot(-3) = 7 + 6 = 13.
    Portanto
R_4 \leftarrow [\,0\; 3\; -7 \;|\; 13\,].
Agora a matriz ficou:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -3 & 0 & -3 \\\\ 0 & -3 & -2 & -4 \\\\ 0 & 6 & 7 & 5 \\\\ 0 & 3 & -7 & 13 \end{array}\right]

Passo 4

Escolher um pivô na segunda coluna entre as linhas 2–4. Para facilitar os cálculos, multiplico a segunda linha por -1 (operação permitida) para obter um pivô positivo:
Faço R_2 \leftarrow -R_2, então
R_2 \leftarrow [\,0\; 3\; 2 \;|\; 4\,].
Agora elemento por elemento uso R_2 para zerar as entradas nas outras linhas da coluna 2 (acima e abaixo).
  1. Eliminar em R_3: faço R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2 porque 6 - 2\cdot 3 = 0.
    Cálculo:
  • segunda coluna: 6 - 2\cdot 3 = 0.
  • terceira coluna: 7 - 2\cdot 2 = 7 - 4 = 3.
  • lado direito: 5 - 2\cdot 4 = 5 - 8 = -3.
    Portanto
R_3 \leftarrow [\,0\; 0\; 3 \;|\; -3\,].
  1. Eliminar em R_4: faço R_4 \leftarrow R_4 - 1\cdot R_2 porque 3 - 1\cdot 3 = 0.
    Cálculo:
  • segunda coluna: 3 - 3 = 0.
  • terceira coluna: -7 - 2 = -9.
  • lado direito: 13 - 4 = 9.
    Portanto
R_4 \leftarrow [\,0\; 0\; -9 \;|\; 9\,].
A matriz agora é
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -3 & 0 & -3 \\\\ 0 & 3 & 2 & 4 \\\\ 0 & 0 & 3 & -3 \\\\ 0 & 0 & -9 & 9 \end{array}\right]

Passo 5

Agora a terceira linha tem um pivô na terceira coluna: 3 em R_3. Primeiro vejo a equação associada a R_3:
3 x_{3} = -3.
Isso permite resolver diretamente x_{3}. Fazendo a divisão (explicando bem: dividir ambos os lados por 3, operação válida porque 3\neq 0):
x_{3} = \frac{-3}{3} = -1.
Verifico consistência com R_4: R_4 é [0\;0\; -9 \;|\; 9]. Substituindo x_{3}=-1 na equação de R_4 -9\cdot(-1)=9, isto é 9=9, que é verdadeiro. Ou alternativamente, posso usar R_4 \leftarrow R_4 + 3R_3 para zerá-la: -9 + 3\cdot 3 = 0 e 9 + 3\cdot(-3) = 0, ficando a linha nula, o que mostra consistência (sem contradição).

Passo 6

Agora faço a substituição regressiva para encontrar x_{2} e x_{1}.
Uso a linha R_2 (que corresponde a 3 x_{2} + 2 x_{3} = 4). Substituo x_{3} = -1:
3 x_{2} + 2\cdot(-1) = 4.
Calculo passo a passo:
3 x_{2} - 2 = 4 \quad\Rightarrow\quad 3 x_{2} = 4 + 2 = 6.
Dividindo por 3:
x_{2} = \frac{6}{3} = 2.
Agora uso a linha R_1 (que corresponde a x_{1} - 3 x_{2} + 0\cdot x_{3} = -3). Substituo x_{2}=2:
x_{1} - 3\cdot 2 = -3.
Calculo:
x_{1} - 6 = -3 \quad\Rightarrow\quad x_{1} = -3 + 6 = 3.

Passo 7

Resumo dos valores encontrados (verificados nas equações):
x_{1} = 3,\qquad x_{2} = 2,\qquad x_{3} = -1.
O sistema é consistente e tem solução única (as primeiras três linhas formaram um sistema triangular com pivôs não nulos; a quarta linha ficou redundante/linearmente dependente).
Força aí — já era, conseguiu! O que interessa pra prova é x_{1}=3.

Resposta

(D) 3

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