Q9: Considere as retas em \mathbb{R}^{2} :
\begin{gathered} {\left[\begin{array}{l} -16 \\\\ -14 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l} -2 \\\\ -3 \end{array}\right]\right\} \quad \mathrm{e}} \\\ \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x-4 y=20\right\} \end{gathered}
Calcule o ponto (x, y) em que estas duas retas se interceptam. O valor da entrada x é:
(A) -12
(B) -11
(C) -10
(D) -9
(E) -8
(F) -7

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^2 e pede o ponto (x,y) onde elas se interceptam; queremos em particular o valor da coordenada x. As informações fornecidas são:
  • Primeira reta (em forma paramétrica/afim): \displaystyle \begin{pmatrix}-16\\\ -14\end{pmatrix}+\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}-2\\\ -3\end{pmatrix}\right\}.
    Isto significa que todos os pontos dessa reta têm a forma \begin{pmatrix}-16\\\ -14\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\\ -3\end{pmatrix} para algum parâmetro real t.
  • Segunda reta (forma implícita): \displaystyle \{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\; x-4y=20\}.
Pergunta: encontrar o ponto de interseção (x,y) (e, dentre as alternativas dadas, identificar o valor de x).

Passo 2

Transformar a primeira reta em equações paramétricas usando um parâmetro t\in\mathbb{R}. Se um ponto da reta é \begin{pmatrix}-16\\\ -14\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\\ -3\end{pmatrix}, então as coordenadas são:
x(t) = -16 - 2t, \qquad y(t) = -14 - 3t.
Explicando rápido: \operatorname{span}\{\begin{pmatrix}-2\\\ -3\end{pmatrix}\} é o conjunto \{t\begin{pmatrix}-2\\\ -3\end{pmatrix}:t\in\mathbb{R}\}. Somando o vetor ponto inicial \begin{pmatrix}-16\\\ -14\end{pmatrix} obtemos a reta afim.

Passo 3

Para que um ponto parametrizado (x(t),y(t)) esteja também na segunda reta, ele deve satisfazer a equação implícita \,x-4y=20. Vamos substituir x(t) e y(t) na equação:
(-16-2t)-4(-14-3t)=20.

Passo 4

Resolvendo a equação acima passo a passo:
(-16-2t)-4(-14-3t)= -16-2t +56+12t.
Agrupando termos semelhantes:
-16+56 +(-2t+12t)=40 +10t.
Portanto a equação fica
40 + 10t = 20.
Isolando t:
10t = 20-40 = -20 \quad\Rightarrow\quad t = -2.

Passo 5

Com t=-2, calculamos as coordenadas do ponto de interseção:
x = x(-2) = -16 - 2(-2) = -16 + 4 = -12,
y = y(-2) = -14 - 3(-2) = -14 + 6 = -8.
Verificação rápida: (-12)-4(-8) = -12 +32 = 20, que confirma que o ponto pertence à segunda reta.

Passo 6

Concluindo: o ponto de interseção é (-12,-8) e a entrada x vale -12. Força aí — bateu o desespero, mas olha só: solução direta e checkada!

Resposta

(A) -12

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