Q15: Sejam
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
. O valor de
, a
entrada de
, é:
(A) 3
(B) 2
(C) 5
(D) 4
(E) Não sei
(A) 3
(B) 2
(C) 5
(D) 4
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e o plano
Pede-se
, a projeção ortogonal de
sobre
, e especificamente o valor da terceira componente
. Informações relevantes: a equação do plano implica que um vetor normal a
é
. A projeção ortogonal existe e é única.
Passo 2
Intuição geométrica (calminha, explico passo a passo): projetar
sobre o plano
significa decompor
em duas partes orthogonais:
onde
(a projeção que queremos) e
é paralelo ao vetor normal
(ou seja,
é ortogonal a
). Como
é paralelo a
, podemos escrever
para algum escalar
.
Passo 3
Usamos a propriedade de ortogonalidade entre
e
. Tomando produto escalar com
na decomposição
, obtemos
Como
,
é ortogonal a
e portanto
. Assim
o que permite resolver para
:
Passo 4
Da expressão anterior, a componente
(projeção de
sobre a reta gerada por
) é
A projeção de
sobre o plano
é então
Essa é a fórmula padrão; agora aplicamos aos vetores dados.
Passo 5
Identificamos o vetor normal a partir da equação do plano:
. Calculamos o produto escalar
:
Fazendo as contas passo a passo:
Somando:
Passo 6
Calculamos
:
Passo 7
O escalar na projeção é
Passo 8
Logo a projeção de
sobre
é
Passo 9
Agora obtemos
. Subtraindo componente a componente:
Calculando cada componente:
Portanto
.
Passo 10
Concluímos que a terceira entrada de
é
, correspondendo à alternativa (D).
Resposta
(D) 4