Q15: Sejam \vec{v}=(-9,-7,8) \mathrm{e}
H=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x-3 y+2 z=0\right\}
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H. O valor de w_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada de \vec{w}, é:
(A) 3
(B) 2
(C) 5
(D) 4
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{v}=(-9,-7,8) e o plano
H=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x-3y+2z=0\}.
Pede-se \vec{w}=P_H\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H, e especificamente o valor da terceira componente w_3. Informações relevantes: a equação do plano implica que um vetor normal a H é \vec{n}=(1,-3,2). A projeção ortogonal existe e é única.

Passo 2

Intuição geométrica (calminha, explico passo a passo): projetar \vec{v} sobre o plano H significa decompor \vec{v} em duas partes orthogonais:
\vec{v}=\vec{w}+\vec{u},
onde \vec{w}\in H (a projeção que queremos) e \vec{u} é paralelo ao vetor normal \vec{n} (ou seja, \vec{u} é ortogonal a H). Como \vec{u} é paralelo a \vec{n}, podemos escrever \vec{u}=\alpha\vec{n} para algum escalar \alpha.

Passo 3

Usamos a propriedade de ortogonalidade entre \vec{w} e \vec{n}. Tomando produto escalar com \vec{n} na decomposição \vec{v}=\vec{w}+\alpha\vec{n}, obtemos
\vec{v}\cdot\vec{n}=\vec{w}\cdot\vec{n}+\alpha\,\vec{n}\cdot\vec{n}.
Como \vec{w}\in H, \vec{w} é ortogonal a \vec{n} e portanto \vec{w}\cdot\vec{n}=0. Assim
\vec{v}\cdot\vec{n}=\alpha\,\vec{n}\cdot\vec{n},
o que permite resolver para \alpha:
\alpha=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}.

Passo 4

Da expressão anterior, a componente \vec{u} (projeção de \vec{v} sobre a reta gerada por \vec{n}) é
\vec{u}=\operatorname{proj}_{\vec{n}}(\vec{v})=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\;\vec{n}.
A projeção de \vec{v} sobre o plano H é então
\vec{w}=\vec{v}-\vec{u}=\vec{v}-\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\;\vec{n}.
Essa é a fórmula padrão; agora aplicamos aos vetores dados.

Passo 5

Identificamos o vetor normal a partir da equação do plano: \vec{n}=(1,-3,2). Calculamos o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{n}:
\vec{v}\cdot\vec{n}=(-9)\cdot 1 + (-7)\cdot(-3) + 8\cdot 2.
Fazendo as contas passo a passo:
(-9)\cdot 1 = -9,
(-7)\cdot(-3) = 21,
8\cdot 2 = 16.
Somando:
\vec{v}\cdot\vec{n}=-9+21+16=28.

Passo 6

Calculamos \vec{n}\cdot\vec{n}:
\vec{n}\cdot\vec{n}=1^2+(-3)^2+2^2=1+9+4=14.

Passo 7

O escalar na projeção é
\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}=\frac{28}{14}=2.

Passo 8

Logo a projeção de \vec{v} sobre \vec{n} é
\vec{u}=2\vec{n}=2(1,-3,2)=(2,-6,4).

Passo 9

Agora obtemos \vec{w}=\vec{v}-\vec{u}. Subtraindo componente a componente:
\vec{w}=(-9,-7,8)-(2,-6,4).
Calculando cada componente:
w_1=-9-2=-11,
w_2=-7-(-6)=-7+6=-1,
w_3=8-4=4.
Portanto \vec{w}=(-11,-1,4).

Passo 10

Concluímos que a terceira entrada de \vec{w} é w_3=4, correspondendo à alternativa (D).

Resposta

(D) 4

Exercícios relacionados