Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de
p(x)=x^{2}-x+2 na reta gerada por
q(x)=2 x-3.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de x^{2}-x+2 no intervalo [0,1] por um múltiplo de 2 x-3 é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) 3-2 x
(B) -\frac{14 x^{2}}{13}+\frac{14 x}{13}-\frac{28}{13}
(C) \frac{42}{13}-\frac{28 x}{13}
(D) \frac{33}{13}-\frac{22 x}{13}
(E) -x^{2}+x-2
(F) -\frac{11 x^{2}}{13}+\frac{11 x}{13}-\frac{22}{13}
(G) -\frac{12 x^{2}}{13}+\frac{12 x}{13}-\frac{24}{13}
(H) \frac{36}{13}-\frac{24 x}{13}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o polinômio p(x)=x^{2}-x+2.
  • Dado o polinômio q(x)=2x-3.
  • O produto interno é definido por \langle f,g\rangle=\int_{0}^{1} f(x)g(x)\,dx.
  • Pede-se: a projeção ortogonal de p na reta gerada por q. Em outras palavras, achar o múltiplo de q que é a projeção de p no subespaço \text{span}\{q\}.
Informações relevantes listadas:
  • Intervalo de integração: [0,1].
  • A projeção será um polinômio da forma \alpha\,q(x) para algum escalar \alpha.
  • Precisaremos calcular integrais de polinômios para obter \langle p,q\rangle e \langle q,q\rangle.

Passo 2

Como encontrar a projeção (intuição e fórmula):
  • A projeção ortogonal de p sobre a reta gerada por q é o vetor \alpha q tal que p-\alpha q é ortogonal a q.
  • A condição de ortogonalidade traduz-se em \langle p-\alpha q,\,q\rangle=0.
  • Desenvolvendo, \langle p,q\rangle-\alpha\langle q,q\rangle=0, portanto
\alpha=\frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}.
  • Ou seja: primeiro calculamos \langle p,q\rangle e \langle q,q\rangle, depois \alpha, e por fim a projeção \alpha q(x).
  • Observação rápida: isso vem da ideia de que, num produto interno, a melhor aproximação por um múltiplo de q é obtida anulando a componente perpendicular a q.

Passo 3

Cálculo de \langle p,q\rangle:
  • Primeiro multiplicamos os polinômios:
p(x)q(x)=(x^{2}-x+2)(2x-3).
  • Expandindo termo a termo:
x^{2}\cdot(2x-3)=2x^{3}-3x^{2},
(-x)\cdot(2x-3)=-2x^{2}+3x,
2\cdot(2x-3)=4x-6.
  • Somando:
p(x)q(x)=2x^{3}-(3x^{2}+2x^{2})+(3x+4x)-6=2x^{3}-5x^{2}+7x-6.
  • Agora integramos de 0 a 1:
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1}\big(2x^{3}-5x^{2}+7x-6\big)\,dx.
  • Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1}2x^{3}\,dx=2\cdot\frac{1}{4}= \frac{1}{2},
\int_{0}^{1}-5x^{2}\,dx=-5\cdot\frac{1}{3}=-\frac{5}{3},
\int_{0}^{1}7x\,dx=7\cdot\frac{1}{2}=\frac{7}{2},
\int_{0}^{1}-6\,dx=-6.
  • Somando os resultados:
\langle p,q\rangle=\frac{1}{2}-\frac{5}{3}+\frac{7}{2}-6.
  • Agrupando \frac{1}{2}+\frac{7}{2}=4, obtemos
\langle p,q\rangle=4-\frac{5}{3}-6=-2-\frac{5}{3}=-\frac{11}{3}.

Passo 4

Cálculo de \langle q,q\rangle:
  • Primeiramente (2x-3)^{2}=4x^{2}-12x+9.
  • Integrando de 0 a 1:
\langle q,q\rangle=\int_{0}^{1}(4x^{2}-12x+9)\,dx.
  • Integrações termo a termo:
\int_{0}^{1}4x^{2}\,dx=4\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{3},
\int_{0}^{1}-12x\,dx=-12\cdot\frac{1}{2}=-6,
\int_{0}^{1}9\,dx=9.
  • Somando:
\langle q,q\rangle=\frac{4}{3}-6+9=\frac{4}{3}+3=\frac{13}{3}.

Passo 5

Determinar \alpha e escrever a projeção:
  • Usando a fórmula \alpha=\dfrac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}:
\alpha=\frac{-\tfrac{11}{3}}{\tfrac{13}{3}}=-\frac{11}{13}.
  • Portanto a projeção de p sobre a reta gerada por q é
\alpha\,q(x)=-\frac{11}{13}\,(2x-3).
  • Expandindo:
-\frac{11}{13}(2x-3)=-\frac{22}{13}x+\frac{33}{13}.

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas, vemos que a expressão
\frac{33}{13}-\frac{22x}{13}
corresponde à alternativa (D).

Resposta

(D)

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