Q14: Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
na reta gerada por
.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
e
, para alguns valores de
. O observe que a melhor aproximação de
no intervalo
por um múltiplo de
é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em
a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado o polinômio
. - Dado o polinômio
. - O produto interno é definido por
. - Pede-se: a projeção ortogonal de
na reta gerada por . Em outras palavras, achar o múltiplo de que é a projeção de no subespaço .
Informações relevantes listadas:
- Intervalo de integração:
. - A projeção será um polinômio da forma
para algum escalar . - Precisaremos calcular integrais de polinômios para obter
e .
Passo 2
Como encontrar a projeção (intuição e fórmula):
- A projeção ortogonal de
sobre a reta gerada por é o vetor tal que é ortogonal a . - A condição de ortogonalidade traduz-se em
. - Desenvolvendo,
, portanto
- Ou seja: primeiro calculamos
e , depois , e por fim a projeção . - Observação rápida: isso vem da ideia de que, num produto interno, a melhor aproximação por um múltiplo de
é obtida anulando a componente perpendicular a .
Passo 3
Cálculo de
:
- Primeiro multiplicamos os polinômios:
- Expandindo termo a termo:
- Somando:
- Agora integramos de
a :
- Integramos termo a termo:
- Somando os resultados:
- Agrupando
, obtemos
Passo 4
Cálculo de
:
- Primeiramente
. - Integrando de
a :
- Integrações termo a termo:
- Somando:
Passo 5
Determinar
e escrever a projeção:
- Usando a fórmula
:
- Portanto a projeção de
sobre a reta gerada por é
- Expandindo:
Passo 6
Comparando com as alternativas dadas, vemos que a expressão
corresponde à alternativa (D).
Resposta
(D)