Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - A imagem de uma projeção ortogonal não é subespaço vetorial
II - O conjunto solução do sistema
, onde
não é subespaço vetorial.
III -
é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
I - A imagem de uma projeção ortogonal não é subespaço vetorial
II - O conjunto solução do sistema
III -
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá três afirmativas sobre subespaços e pede escolher a alternativa correta entre (A) a (G). As afirmativas são:
I - A imagem de uma projeção ortogonal não é subespaço vetorial.
II - O conjunto solução do sistema
, onde
, não é subespaço vetorial.
III -
é subespaço vetorial.
Queremos decidir, para cada uma I, II e III, se é verdadeira ou falsa, e então escolher a alternativa que corresponda.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar claramente o que significa ser um subespaço vetorial (isso vai nos ajudar a testar I, II e III). Uma parte
de
é subespaço vetorial se e somente se as três propriedades abaixo forem satisfeitas:
-
contém o vetor nulo . -
é fechada sob soma: se e , então . -
é fechada sob multiplicação escalar: se e , então .
Explicando de leve: a presença do vetor zero é necessária porque um subespaço contém combinações lineares triviais. Fechamento por soma e por escalares garante que qualquer combinação linear de vetores de
permaneça em
. Para testar concretamente se um conjunto é subespaço, normalmente verificamos estas três propriedades (ou mostramos que o conjunto é o núcleo de uma transformação linear, ou a imagem de uma transformação linear — resultados que também preservam a estrutura de subespaço).
Passo 3
Analisando I: “A imagem de uma projeção ortogonal não é subespaço vetorial.”
O que é uma projeção ortogonal? É uma aplicação linear
que projeta cada vetor ortogonalmente sobre um certo subespaço
. Propriedades importantes:
-
é linear (projeção ortogonal é uma transformação linear). -
(idempotência). - A imagem de
é exatamente o subespaço sobre o qual projetamos: .
Como
é igual a
e
é um subespaço por definição (é o subespaço alvo da projeção), a imagem de uma projeção ortogonal é sempre um subespaço vetorial. Exemplo concreto: projecção ortogonal em
sobre o plano
tem imagem
, que é claramente um subespaço. Portanto a afirmativa I, que diz que a imagem “não é” subespaço, é falsa.
Passo 4
Analisando II: “O conjunto solução do sistema
, onde
, não é subespaço vetorial.”
Vamos entender a forma geral do conjunto solução. Seja
uma matriz e suponha que exista pelo menos uma solução
tal que
. Então o conjunto de todas as soluções é
ou seja, é uma translação (um “coset”) do núcleo (nullspace) de
. Uma translação não nula de um subespaço (quando
) é um conjunto afim: não contém o vetor zero (salvo caso especial) e não é fechado por multiplicação escalar em geral, logo não é subespaço vetorial.
Agora, se não existir solução, o conjunto solução é o conjunto vazio
. O conjunto vazio não é subespaço porque um subespaço deve conter
e
não contém.
Podemos também fazer uma prova rápida de que, quando existe solução e
, o conjunto solução não contém
: se
é solução e
também fosse solução, teríamos
, contradizendo
. Então o conjunto solução não contém o zero e portanto não é subespaço. Conclusão: para
o conjunto solução ou é vazio (não subespaço) ou é uma translação afim (também não subespaço). Logo a afirmativa II é verdadeira.
Exemplo simples:
(matriz identidade) e
. A solução é
(um único ponto), que não contém
, logo não é subespaço.
Passo 5
Analisando III:
é subespaço vetorial?
Temos duas maneiras simples de ver isso.
Método A — verificação direta por propriedades:
- Vetor zero:
satisfaz , logo pertence ao conjunto. - Fechamento por soma: tome
e no conjunto, então e . A soma é
O componente
da soma é
portanto
também satisfaz a condição e fica no conjunto.
- Fechamento por escalares: para
,
e
, logo
também está no conjunto.
Como as três propriedades valem, o conjunto é subespaço.
Método B — identificar como núcleo: defina a forma linear
por
. Nosso conjunto é
. Núcleos de transformações lineares são sempre subespaços. Assim, o conjunto é subespaço.
Portanto a afirmativa III é verdadeira.
Passo 6
Resumo das verdades:
- I é falsa.
- II é verdadeira.
- III é verdadeira.
Isso corresponde à alternativa (G): “Só II e III são verdadeiras.”
Resposta
(G)