Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - A imagem de uma projeção ortogonal não é subespaço vetorial
II - O conjunto solução do sistema A \vec{x}=\vec{b}, onde \vec{b} \neq \overrightarrow{0} não é subespaço vetorial.
III - \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=6 x-6 z\right\} é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá três afirmativas sobre subespaços e pede escolher a alternativa correta entre (A) a (G). As afirmativas são:
I - A imagem de uma projeção ortogonal não é subespaço vetorial.
II - O conjunto solução do sistema \:A\vec{x}=\vec{b}, onde \:\vec{b}\neq\overrightarrow{0}, não é subespaço vetorial.
III - \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid y=6x-6z\right\} é subespaço vetorial.
Queremos decidir, para cada uma I, II e III, se é verdadeira ou falsa, e então escolher a alternativa que corresponda.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar claramente o que significa ser um subespaço vetorial (isso vai nos ajudar a testar I, II e III). Uma parte S de \mathbb{R}^{n} é subespaço vetorial se e somente se as três propriedades abaixo forem satisfeitas:
  1. \:S contém o vetor nulo \:\overrightarrow{0}.
  2. \:S é fechada sob soma: se \:u\in S e \:v\in S, então \:u+v\in S.
  3. \:S é fechada sob multiplicação escalar: se \:u\in S e \:c\in\mathbb{R}, então \:c u\in S.
Explicando de leve: a presença do vetor zero é necessária porque um subespaço contém combinações lineares triviais. Fechamento por soma e por escalares garante que qualquer combinação linear de vetores de S permaneça em S. Para testar concretamente se um conjunto é subespaço, normalmente verificamos estas três propriedades (ou mostramos que o conjunto é o núcleo de uma transformação linear, ou a imagem de uma transformação linear — resultados que também preservam a estrutura de subespaço).

Passo 3

Analisando I: “A imagem de uma projeção ortogonal não é subespaço vetorial.”
O que é uma projeção ortogonal? É uma aplicação linear \:P:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n} que projeta cada vetor ortogonalmente sobre um certo subespaço W. Propriedades importantes:
  • \:P é linear (projeção ortogonal é uma transformação linear).
  • \:P^{2}=P (idempotência).
  • A imagem de \:P é exatamente o subespaço W sobre o qual projetamos: \mathrm{Im}(P)=W.
Como \mathrm{Im}(P) é igual a W e W é um subespaço por definição (é o subespaço alvo da projeção), a imagem de uma projeção ortogonal é sempre um subespaço vetorial. Exemplo concreto: projecção ortogonal em \mathbb{R}^{3} sobre o plano z=0 tem imagem \{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\}, que é claramente um subespaço. Portanto a afirmativa I, que diz que a imagem “não é” subespaço, é falsa.

Passo 4

Analisando II: “O conjunto solução do sistema \:A\vec{x}=\vec{b}, onde \:\vec{b}\neq\overrightarrow{0}, não é subespaço vetorial.”
Vamos entender a forma geral do conjunto solução. Seja A uma matriz e suponha que exista pelo menos uma solução \:\vec{x}_{0} tal que A\vec{x}_{0}=\vec{b}. Então o conjunto de todas as soluções é
\{\vec{x}\in\mathbb{R}^{n}\mid A\vec{x}=\vec{b}\}=\vec{x}_{0}+\mathrm{Null}(A),
ou seja, é uma translação (um “coset”) do núcleo (nullspace) de A. Uma translação não nula de um subespaço (quando \vec{x}_{0}\notin\mathrm{Null}(A)) é um conjunto afim: não contém o vetor zero (salvo caso especial) e não é fechado por multiplicação escalar em geral, logo não é subespaço vetorial.
Agora, se não existir solução, o conjunto solução é o conjunto vazio \varnothing. O conjunto vazio não é subespaço porque um subespaço deve conter \overrightarrow{0} e \varnothing não contém.
Podemos também fazer uma prova rápida de que, quando existe solução e \vec{b}\neq\overrightarrow{0}, o conjunto solução não contém \overrightarrow{0}: se \vec{x}_{0} é solução e \overrightarrow{0} também fosse solução, teríamos A\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}=\vec{b}, contradizendo \vec{b}\neq\overrightarrow{0}. Então o conjunto solução não contém o zero e portanto não é subespaço. Conclusão: para \vec{b}\neq\overrightarrow{0} o conjunto solução ou é vazio (não subespaço) ou é uma translação afim (também não subespaço). Logo a afirmativa II é verdadeira.
Exemplo simples: A=I (matriz identidade) e \vec{b}=(1,0,\dots). A solução é \vec{x}=\vec{b} (um único ponto), que não contém \overrightarrow{0}, logo não é subespaço.

Passo 5

Analisando III: \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid y=6x-6z\right\} é subespaço vetorial?
Temos duas maneiras simples de ver isso.
Método A — verificação direta por propriedades:
  • Vetor zero: (0,0,0) satisfaz 0=6\cdot0-6\cdot0, logo \overrightarrow{0} pertence ao conjunto.
  • Fechamento por soma: tome \:u=(x_{1},y_{1},z_{1}) e \:v=(x_{2},y_{2},z_{2}) no conjunto, então y_{1}=6x_{1}-6z_{1} e y_{2}=6x_{2}-6z_{2}. A soma é
u+v=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2}).
O componente y da soma é
y_{1}+y_{2}=6(x_{1}+x_{2})-6(z_{1}+z_{2}),
portanto u+v também satisfaz a condição e fica no conjunto.
  • Fechamento por escalares: para c\in\mathbb{R},
c u=(cx_{1},\,c y_{1},\,c z_{1})
e c y_{1}=c(6x_{1}-6z_{1})=6(cx_{1})-6(cz_{1}), logo c u também está no conjunto.
Como as três propriedades valem, o conjunto é subespaço.
Método B — identificar como núcleo: defina a forma linear f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} por f(x,y,z)=y-6x+6z. Nosso conjunto é \ker(f)=\{(x,y,z)\mid f(x,y,z)=0\}. Núcleos de transformações lineares são sempre subespaços. Assim, o conjunto é subespaço.
Portanto a afirmativa III é verdadeira.

Passo 6

Resumo das verdades:
  • I é falsa.
  • II é verdadeira.
  • III é verdadeira.
Isso corresponde à alternativa (G): “Só II e III são verdadeiras.”

Resposta

(G)

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