Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=3 x^{2}-x+3 na reta ger ada por q(x)=1-3 x.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de 3 x^{2}-x+3 no intervalo [0,1] por um múltiplo de 1-3 x é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) -\frac{27 x^{2}}{4}+\frac{9 x}{4}-\frac{27}{4}
(B) 6 x-2
(C) -\frac{9 x^{2}}{2}+\frac{3 x}{2}-\frac{9}{2}
(F) -6 x^{2}+2 x-6
(G) \frac{27 x}{4}-\frac{9}{4}
(E) \frac{9 x}{2}-\frac{3}{2}
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial \mathcal{P}_{2} (polinômios reais de grau \le 2) com o produto interno
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} p(x)\,q(x)\,dx.
Diz também os polinômios
p(x)=3x^{2}-x+3
e
q(x)=1-3x,
e pede: encontrar a projeção ortogonal de p sobre a reta gerada por q (ou seja, sobre \text{span}\{q\}).
Listando claramente o que é pedido: encontrar o polinômio da forma k\,q(x) que é a projeção ortogonal de p em \text{span}\{q\}.
Passo 2
O que é projeção ortogonal numa reta gerada por q? Vou explicar como pensar nisso de forma prática. Em um espaço com produto interno, a projeção ortogonal de um vetor p sobre a reta gerada por q é o múltiplo escalar de q que fica “mais próximo” de p em termos do produto interno. A fórmula padrão é:
\langle p,q\rangle é o produto interno entre p e q (aqui um integral);
\langle q,q\rangle é o produto interno de q consigo mesmo (norma ao quadrado);
a razão \dfrac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle} é o escalar k tal que kq é a projeção.
Vou aplicar essa fórmula calculando \langle p,q\rangle e \langle q,q\rangle via integrais.
Passo 3
Calcular \langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx. Primeiro multiplico os polinômios:
Verificação rápida (opcional e curta): devemos ter \langle p - \text{proj}(p),\,q\rangle=0. Como \langle p,q\rangle=-\tfrac{9}{4} e \langle \text{proj}(p),q\rangle = \frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}\langle q,q\rangle=\langle p,q\rangle, a diferença tem produto interno zero — consistente. Isso confirma que o cálculo está correto.