e o vetor \vec{v}=(15,0,0,-30,10).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{3} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado dá uma base ortogonal de \mathbb{R}^{5}
A pergunta é: seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} na base \beta. Calcule a entrada \;x_{3}\; do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear.)
Passo 2
O que podemos usar aqui é a propriedade de uma base ortogonal: quando os vetores da base são mutuamente ortogonais, a coordenada de \vec{v} na direção do terceiro vetor da base (ou seja, x_{3}) é dada pela projeção de \vec{v} em \vec{b}_{3} dividida pela norma ao quadrado de \vec{b}_{3}.
Vou explicar devagar e com carinho essa fórmula, porque é o truque que salva tempo na prova.
Passo 3
Definição e justificativa da fórmula (passo-a-passo didático):
Seja \vec{b}_{3} o terceiro vetor da base \beta, isto é
Se a base é ortogonal e \vec{v}=\sum_{i=1}^{5} x_{i}\vec{b}_{i}, então tomando produto interno (produto escalar) de ambos os lados com \vec{b}_{3} obtemos
Um lembrete: aqui \vec{a}\cdot\vec{b} é o produto escalar padrão, dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes. E \vec{b}_{3}\cdot\vec{b}_{3} é a norma ao quadrado de \vec{b}_{3}.
Passo 4
Agora vamos calcular o numerador \vec{v}\cdot\vec{b}_{3}. Escrevendo componentes:
Ótimo — chegamos ao valor de \;x_{3}\;. Força aí, você já tem a resposta e aprendeu o truque: em base ortogonal, coord. = (produto escalar com o vetor da base) / (norma ao quadrado do vetor da base). Isso evita resolver sistemas.