Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} 6 \\\\ 4 \\\\ 1 \\\\ -4 \\\\ 9 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 2 \\\\ 3 \\\\ 2 \\\\ 2 \\\\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 2 \\\\ -2 \\\\ 2 \\\\ -3 \\\\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 4 \\\\ -4 \\\\ -1 \\\\ 4 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ 2 \\\\ -7 \\\\ -2 \\\\ -3 \end{array}\right]\right\}
e o vetor \vec{v}=(15,0,0,-30,10).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{3} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá uma base ortogonal de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r}6 \\\\ 4 \\\\ 1 \\\\ -4 \\\\ 9\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2 \\\\ 3 \\\\ 2 \\\\ 2 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2 \\\\ -2 \\\\ 2 \\\\ -3 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}4 \\\\ -4 \\\\ -1 \\\\ 4 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}3 \\\\ 2 \\\\ -7 \\\\ -2 \\\\ -3\end{array}\right]\right\}
e o vetor
\vec{v}=\left(15,0,0,-30,10\right).
A pergunta é: seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} na base \beta. Calcule a entrada \;x_{3}\; do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear.)

Passo 2

O que podemos usar aqui é a propriedade de uma base ortogonal: quando os vetores da base são mutuamente ortogonais, a coordenada de \vec{v} na direção do terceiro vetor da base (ou seja, x_{3}) é dada pela projeção de \vec{v} em \vec{b}_{3} dividida pela norma ao quadrado de \vec{b}_{3}.
Vou explicar devagar e com carinho essa fórmula, porque é o truque que salva tempo na prova.

Passo 3

Definição e justificativa da fórmula (passo-a-passo didático):
  • Seja \vec{b}_{3} o terceiro vetor da base \beta, isto é
\vec{b}_{3}=\left[\begin{array}{r}2\\\ -2\\\ 2\\\ -3\\\ -2\end{array}\right].
  • Se a base é ortogonal e \vec{v}=\sum_{i=1}^{5} x_{i}\vec{b}_{i}, então tomando produto interno (produto escalar) de ambos os lados com \vec{b}_{3} obtemos
\vec{v}\cdot\vec{b}_{3}=\sum_{i=1}^{5} x_{i}(\vec{b}_{i}\cdot\vec{b}_{3}).
  • Como a base é ortogonal, \vec{b}_{i}\cdot\vec{b}_{3}=0 para todo i\neq3. Assim sobra apenas o termo i=3:
\vec{v}\cdot\vec{b}_{3}=x_{3}(\vec{b}_{3}\cdot\vec{b}_{3}).
  • Portanto a fórmula para a coordenada é
x_{3}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{b}_{3}}{\vec{b}_{3}\cdot\vec{b}_{3}}.
Um lembrete: aqui \vec{a}\cdot\vec{b} é o produto escalar padrão, dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes. E \vec{b}_{3}\cdot\vec{b}_{3} é a norma ao quadrado de \vec{b}_{3}.

Passo 4

Agora vamos calcular o numerador \vec{v}\cdot\vec{b}_{3}. Escrevendo componentes:
\vec{v}=(15,0,0,-30,10),\qquad \vec{b}_{3}=(2,-2,2,-3,-2).
O produto escalar é
\vec{v}\cdot\vec{b}_{3}=15\cdot 2 + 0\cdot(-2) + 0\cdot 2 + (-30)\cdot(-3) + 10\cdot(-2).
Calculemos termo a termo:
  • 15\cdot 2 = 30,
  • 0\cdot(-2)=0,
  • 0\cdot 2=0,
  • (-30)\cdot(-3)=90,
  • 10\cdot(-2)=-20.
Somando:
\vec{v}\cdot\vec{b}_{3}=30+0+0+90-20=100.

Passo 5

Agora o denominador \vec{b}_{3}\cdot\vec{b}_{3} (norma ao quadrado de \vec{b}_{3}):
\vec{b}_{3}\cdot\vec{b}_{3}=2^{2}+(-2)^{2}+2^{2}+(-3)^{2}+(-2)^{2}.
Calculemos:
  • 2^{2}=4,
  • (-2)^{2}=4,
  • 2^{2}=4,
  • (-3)^{2}=9,
  • (-2)^{2}=4.
Somando:
\vec{b}_{3}\cdot\vec{b}_{3}=4+4+4+9+4=25.

Passo 6

Aplicando a fórmula da Passo 3:
x_{3}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{b}_{3}}{\vec{b}_{3}\cdot\vec{b}_{3}}=\frac{100}{25}=4.
Ótimo — chegamos ao valor de \;x_{3}\;. Força aí, você já tem a resposta e aprendeu o truque: em base ortogonal, coord. = (produto escalar com o vetor da base) / (norma ao quadrado do vetor da base). Isso evita resolver sistemas.

Resposta

(H) 4

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