Q12:Sejam
e
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(H)
(D)
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(H)
(D)
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e o subespaço
Pede-se calcular
, a projeção ortogonal de
sobre
, e em particular o valor da terceira coordenada
de
. A dica do enunciado é projetar
em
.
Passo 2
Ideia e fórmula útil (explicada): o plano
é a solução da equação linear com coeficientes
; portanto o vetor normal a
é
. O subespaço ortogonal
é a reta gerada por
, isto é
.
Projeção em uma reta gerada por um vetor
: se queremos a projeção ortogonal de
sobre
, a fórmula é
Aqui
é o produto interno (produto escalar), isto é a soma dos produtos das componentes correspondentes. As variáveis significam:
é um número (escala),
é o quadrado da norma de
, e o quociente multiplica o vetor
.
Relação entre as projeções: como
(soma direta ortogonal), a projeção de
sobre
obtém-se subtraindo a projeção sobre
:
Passo 3
Calculemos o produto escalar
. Escrevendo componente a componente:
Agora somando:
logo
Passo 4
Calculemos
, que é a soma dos quadrados das componentes de
:
Passo 5
Agora o coeficiente escalar da projeção em
é
Portanto
Passo 6
Finalmente a projeção de
sobre
é
Subtraindo componente a componente:
Passo 7
A terceira coordenada de
é
. Entre as alternativas dadas, isto corresponde à alternativa (A).
Resposta
(A) 1