Q12:Sejam \vec{v}=(2,11,-5,0) e
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+3 y-2 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} em H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(H) -\frac{21 x^{2}}{4}+\frac{7 x}{4}-\frac{21}{4}
(D) \frac{21 x}{4}-\frac{7}{4}

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{v}=(2,11,-5,0) e o subespaço
H=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x+3y-2z+w=0\}.
Pede-se calcular \vec{w}=P_{H}\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H, e em particular o valor da terceira coordenada w_{3} de \vec{w}. A dica do enunciado é projetar \vec{v} em H^{\perp}.

Passo 2

Ideia e fórmula útil (explicada): o plano H é a solução da equação linear com coeficientes 1,3,-2,1; portanto o vetor normal a H é
\vec{n}=(1,3,-2,1). O subespaço ortogonal H^{\perp} é a reta gerada por \vec{n}, isto é \mathrm{span}\{\vec{n}\}.
Projeção em uma reta gerada por um vetor \vec{n}: se queremos a projeção ortogonal de \vec{v} sobre \mathrm{span}\{\vec{n}\}, a fórmula é
\operatorname{proj}_{\vec{n}}(\vec{v})=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n}.
Aqui \vec{v}\cdot\vec{n} é o produto interno (produto escalar), isto é a soma dos produtos das componentes correspondentes. As variáveis significam: \vec{v}\cdot\vec{n} é um número (escala), \vec{n}\cdot\vec{n} é o quadrado da norma de \vec{n}, e o quociente multiplica o vetor \vec{n}.
Relação entre as projeções: como \mathbb{R}^4=H\oplus H^{\perp} (soma direta ortogonal), a projeção de \vec{v} sobre H obtém-se subtraindo a projeção sobre H^{\perp}:
P_{H}\vec{v}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}(\vec{v}).

Passo 3

Calculemos o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{n}. Escrevendo componente a componente:
\vec{v}\cdot\vec{n}=2\cdot 1 + 11\cdot 3 + (-5)\cdot(-2) + 0\cdot 1.
Agora somando:
2\cdot 1 = 2,\quad 11\cdot 3 = 33,\quad (-5)\cdot(-2)=10,\quad 0\cdot1=0,
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\vec{v}\cdot\vec{n}=2+33+10+0=45.

Passo 4

Calculemos \vec{n}\cdot\vec{n}, que é a soma dos quadrados das componentes de \vec{n}:
\vec{n}\cdot\vec{n}=1^2+3^2+(-2)^2+1^2=1+9+4+1=15.

Passo 5

Agora o coeficiente escalar da projeção em H^{\perp} é
\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}=\frac{45}{15}=3.
Portanto
\operatorname{proj}_{\vec{n}}(\vec{v})=3\vec{n}=3(1,3,-2,1)=(3,9,-6,3).

Passo 6

Finalmente a projeção de \vec{v} sobre H é
\vec{w}=P_{H}\vec{v}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}(\vec{v})=(2,11,-5,0)-(3,9,-6,3).
Subtraindo componente a componente:
\vec{w}=(2-3,\;11-9,\;-5-(-6),\;0-3)=(-1,2,1,-3).

Passo 7

A terceira coordenada de \vec{w} é w_{3}=1. Entre as alternativas dadas, isto corresponde à alternativa (A).

Resposta

(A) 1

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