Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x
y
Z
-3
-1
27.7
-2
1
17.2
-1
2
12.5
0
-3
-3.4
1
-4
0.2
2
2
21.4
3
1
31.7
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(7,8). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) 157.3
(B) 158.3
(C) 159.3
(D) 160.3
(E) 161.3
(F) 162.3
(G) 163.3
(H) 164.3
Passo 1
O enunciado dá o modelo Z = a x^{2} + b y + c e fornece 7 medições de (x,y,Z) (peguei esses dados da tabela do enunciado). Pede para ajustar a,b,c por mínimos quadrados e, em seguida, calcular o valor previsto de Z no ponto (x,y)=(7,8). Os dados (retirados da tabela) são:
O ajuste por mínimos quadrados resulta nas equações normais
A^{T}A\,\mathbf{p} = A^{T}\mathbf{Z}.
Vou calcular explicitamente A^{T}A e A^{T}\mathbf{Z} usando os dados da tabela. Primeiro calculo algumas somas úteis (peguei cada valor direto da tabela e calculei os produtos):
Para cada linha calculei x^2,\\ x^4,\\ x^2y,\\ Zx^2,\\ Zy. Somando sobre as 7 medições obtive:
Agora elimino a segunda coluna em R_3 usando R_2. O fator é f = \dfrac{-3{,}42857143}{35{,}48979592} (numérico). Faço R_3 \leftarrow R_3 - f\,R_2. Após essa operação obtenho a terceira equação com só a incógnita c: