Se \vec{u}=3 \vec{i}-2 \vec{j}-2 \vec{k}, \vec{v}=4 \vec{i}+\vec{j}-\vec{k} e \vec{w}=\vec{i}-\vec{k}, determinar:
(g) \vec{u} \times(\vec{v} \times \vec{w})

Passo 1

Dados do enunciado:
\vec{u}=3\vec{i}-2\vec{j}-2\vec{k}, \vec{v}=4\vec{i}+\vec{j}-\vec{k} e \vec{w}=\vec{i}-\vec{k}.
O que se pede:
Calcular \vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{w}).

Passo 2

Escolha do método: vamos usar a identidade do produto vetorial triplo, porque ela transforma um produto vetorial aninhado em combinações de produtos escalares — muito mais simples e rápido do que calcular dois produtos vetoriais explicitamente. A identidade é:
\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}\,(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}\,(\vec{a}\cdot\vec{b}).
Explicando a identidade: o lado esquerdo é um vetor obtido fazendo primeiro \vec{b}\times\vec{c} e depois \vec{a}\times(\cdot). A identidade diz que isso é igual a dois vetores colineares com \vec{b} e \vec{c}, respectivamente, com escalares dados pelos produtos escalares \vec{a}\cdot\vec{c} e \vec{a}\cdot\vec{b}.
Antes de aplicar, lembro o que é produto escalar e multiplicação por escalar:
  • Produto escalar: para \vec{p}=(p_1,p_2,p_3) e \vec{q}=(q_1,q_2,q_3),
\vec{p}\cdot\vec{q}=p_1q_1+p_2q_2+p_3q_3.
  • Multiplicar vetor por escalar s: s\vec{p}=(sp_1,sp_2,sp_3).
    Usando a identidade com \vec{a}=\vec{u}, \vec{b}=\vec{v}, \vec{c}=\vec{w} teremos
\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{w})=\vec{v}\,(\vec{u}\cdot\vec{w})-\vec{w}\,(\vec{u}\cdot\vec{v}).

Passo 3

Calcular \vec{u}\cdot\vec{w}. Escrevendo componentes:
\vec{u}=(3,-2,-2) e \vec{w}=(1,0,-1).
Aplicando a fórmula do produto escalar:
\vec{u}\cdot\vec{w}=3\cdot1+(-2)\cdot0+(-2)\cdot(-1)=3+0+2=5.

Passo 4

Calcular \vec{u}\cdot\vec{v}. Escrevendo componentes:
\vec{v}=(4,1,-1).
\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot4+(-2)\cdot1+(-2)\cdot(-1)=12-2+2=12.

Passo 5

Calcular \vec{v}\,(\vec{u}\cdot\vec{w}). Como \vec{u}\cdot\vec{w}=5,
5\vec{v}=5(4,1,-1)=(20,5,-5).
Em notação vetorial com versores:
5\vec{v}=20\vec{i}+5\vec{j}-5\vec{k}.

Passo 6

Calcular \vec{w}\,(\vec{u}\cdot\vec{v}). Como \vec{u}\cdot\vec{v}=12,
12\vec{w}=12(1,0,-1)=(12,0,-12).
Em versores:
12\vec{w}=12\vec{i}+0\vec{j}-12\vec{k}.

Passo 7

Subtrair os dois vetores conforme a identidade:
\vec{v}(\vec{u}\cdot\vec{w})-\vec{w}(\vec{u}\cdot\vec{v})=(20,5,-5)-(12,0,-12).
Fazendo a subtração componente a componente:
(20-12,\;5-0,\;-5-(-12))=(8,5,7).
Portanto
\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{w})=8\vec{i}+5\vec{j}+7\vec{k}.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, só pra ficar tranquilo): calculei \vec{v}\times\vec{w}=(-1,3,-1) e depois \vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{w}) usando determinante, obtendo novamente (8,5,7). Confere com o resultado acima.

Resposta

8\vec{i}+5\vec{j}+7\vec{k}

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