Aqui as informações relevantes são as componentes de \vec{u} e \vec{v} indicadas acima; a operação pedida é o produto escalar entre o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} e o vetor \vec{v}.
Passo 2
Vou explicar duas ideias importantes que usamos aqui, de modo bem didático.
Definição do produto vetorial (cruz):
\vec{u}\times\vec{v}
é um vetor perpendicular a ambos \vec{u} e \vec{v}. Em componentes, se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Se os vetores são perpendiculares (\theta=90^\circ), o produto escalar é zero.
Conclusão imediata (linha de raciocínio útil para prova): como \vec{u}\times\vec{v} é perpendicular a \vec{v}, temos
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v}=0.
Vou mostrar também uma verificação algébrica passo a passo para ficar ainda mais claro.
Passo 3
Primeira verificação algébrica — usando a interpretação de determinante do produto misto:
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v}
é o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são \vec{u},\vec{v},\vec{v}. Como essa matriz tem duas colunas iguais (\vec{v} repetido), o determinante é zero. Logo o resultado é zero. Essa é uma forma curta e elegante de ver o porquê.
Passo 4
Segunda verificação algébrica — cálculo direto (para você ver os números e sentir segurança):
Escrevemos as componentes:
\vec{u}=(3,-2,-2),\qquad \vec{v}=(4,1,-1).
Calculamos \vec{u}\times\vec{v} pelo determinante: