Se \vec{u}=3 \vec{i}-2 \vec{j}-2 \vec{k}, \vec{v}=4 \vec{i}+\vec{j}-\vec{k} e \vec{w}=\vec{i}-\vec{k}, determinar:
(j) (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{v}

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{u}=3\vec{i}-2\vec{j}-2\vec{k},\qquad \vec{v}=4\vec{i}+\vec{j}-\vec{k},\qquad \vec{w}=\vec{i}-\vec{k}
e pede para calcular
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v}.
Aqui as informações relevantes são as componentes de \vec{u} e \vec{v} indicadas acima; a operação pedida é o produto escalar entre o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} e o vetor \vec{v}.

Passo 2

Vou explicar duas ideias importantes que usamos aqui, de modo bem didático.
  1. Definição do produto vetorial (cruz):
\vec{u}\times\vec{v}
é um vetor perpendicular a ambos \vec{u} e \vec{v}. Em componentes, se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então
\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\ u_1 & u_2 & u_3 \\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}.
Isso significa que cada componente do vetor resultante vem da regra de Sarrus/determinante.
  1. Definição do produto escalar (ponto):
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3,
e tem a interpretação geométrica
\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Se os vetores são perpendiculares ( \theta=90^\circ), o produto escalar é zero.
Conclusão imediata (linha de raciocínio útil para prova): como \vec{u}\times\vec{v} é perpendicular a \vec{v}, temos
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v}=0.
Vou mostrar também uma verificação algébrica passo a passo para ficar ainda mais claro.

Passo 3

Primeira verificação algébrica — usando a interpretação de determinante do produto misto:
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v}
é o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são \vec{u},\vec{v},\vec{v}. Como essa matriz tem duas colunas iguais ( \vec{v} repetido), o determinante é zero. Logo o resultado é zero. Essa é uma forma curta e elegante de ver o porquê.

Passo 4

Segunda verificação algébrica — cálculo direto (para você ver os números e sentir segurança):
Escrevemos as componentes:
\vec{u}=(3,-2,-2),\qquad \vec{v}=(4,1,-1).
Calculamos \vec{u}\times\vec{v} pelo determinante:
\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\\ 3 & -2 & -2 \\\\ 4 & 1 & -1 \end{vmatrix}.
Expandindo componente a componente:
  • componente em \vec{i}:
(-2)\cdot(-1)-(-2)\cdot 1 = 2 - (-2)=4,
  • componente em \vec{j} (lembre do sinal negativo ao expandir):
-(3\cdot(-1)-(-2)\cdot 4)= -(-3 -(-8)) = -( -3+8)= -5,
  • componente em \vec{k}:
3\cdot 1 - (-2)\cdot 4 = 3 - (-8)=11.
Portanto
\vec{u}\times\vec{v}=(4,-5,11).

Passo 5

Agora fazemos o produto escalar com \vec{v}:
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v} = (4,-5,11)\cdot(4,1,-1).
Calculando componente a componente:
4\cdot 4 + (-5)\cdot 1 + 11\cdot(-1) = 16 -5 -11 = 0.
Isso confirma a conclusão geométrica do Passo 2.

Resposta

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