Q14: Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
na reta gerada por
.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
e
, para alguns valores de
. O observe que a melhor aproximação de
no intervalo [ 0,1 ] por um múltiplo de
é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em
a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a projeção ortogonal de
sobre a reta gerada por
no espaço com produto interno
Informações dadas:
O que se pede: o polinômio da forma
(com
) que é a projeção ortogonal de
sobre a reta
.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação didática): a projeção ortogonal de um vetor
sobre a reta gerada por
num espaço com produto interno é
Por que isso? A constante
é escolhida para que o erro
seja ortogonal a
, isto é
leva a
. Aqui
é a integral definida dada no enunciado.
Passo 3
Calculamos
. Primeiro expandimos o produto:
Multiplicando termo a termo:
Somando:
Agora integramos de
a
:
Calcule termo a termo (lembrando antiderivadas:
):
Somando:
Colocando tudo em meio denominador:
Portanto
Passo 4
Calculamos
. Expandindo:
Integramos de
a
:
Termo a termo:
Somando:
Passo 5
Calculamos o coeficiente escalar:
Passo 6
Finalmente a projeção é
Multiplicando e simplificando:
Reescrevendo na forma do enunciado:
Observação rápida: esse polinômio aparece entre as alternativas; corresponde à alternativa (A).