Q14: Introduzimos em mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=4 x^{2}-3 x+1 na reta gerada por q(x)=2 x-3.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de 4 x^{2}-3 x+1 no intervalo [ 0,1 ] por um múltiplo de 2 x-3 é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em 0,2 a melhor aproximação será outra).
(A) \frac{27}{26}-\frac{9 x}{13}
(B) \frac{12}{13}-\frac{8 x}{13}
(C) \frac{15}{13}-\frac{10 x}{13}
(D) \frac{33}{26}-\frac{11 x}{13}
(E) -\frac{18 x^{2}}{13}+\frac{27 x}{26}-\frac{9}{26}
(F) -\frac{16 x^{2}}{13}+\frac{12 x}{13}-\frac{4}{13}
(G) -\frac{20 x^{2}}{13}+\frac{15 x}{13}-\frac{5}{13}
(H) -\frac{22 x^{2}}{13}+\frac{33 x}{26}-\frac{11}{26}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a projeção ortogonal de p(x)=4x^{2}-3x+1 sobre a reta gerada por q(x)=2x-3 no espaço com produto interno
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{1} f(x)g(x)\,dx.
Informações dadas:
p(x)=4x^{2}-3x+1,\qquad q(x)=2x-3,\qquad \langle f,g\rangle=\int_{0}^{1} f(x)g(x)\,dx.
O que se pede: o polinômio da forma k\,q(x) (com k\in\mathbb{R}) que é a projeção ortogonal de p sobre a reta \mathrm{span}\{q\}.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação didática): a projeção ortogonal de um vetor p sobre a reta gerada por q num espaço com produto interno é
\operatorname{proj}_{\langle q\rangle} p=\frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}\,q.
Por que isso? A constante \dfrac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle} é escolhida para que o erro p-\operatorname{proj}_{\langle q\rangle} p seja ortogonal a q, isto é \langle p-\lambda q,q\rangle=0 leva a \lambda=\dfrac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}. Aqui \langle\cdot,\cdot\rangle é a integral definida dada no enunciado.

Passo 3

Calculamos \langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx. Primeiro expandimos o produto:
p(x)q(x)=(4x^{2}-3x+1)(2x-3).
Multiplicando termo a termo:
(4x^{2})(2x)=8x^{3},\quad (4x^{2})(-3)=-12x^{2},
(-3x)(2x)=-6x^{2},\quad (-3x)(-3)=9x,
1\cdot(2x)=2x,\quad 1\cdot(-3)=-3.
Somando:
p(x)q(x)=8x^{3}-18x^{2}+11x-3.
Agora integramos de 0 a 1:
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} (8x^{3}-18x^{2}+11x-3)\,dx.
Calcule termo a termo (lembrando antiderivadas: \int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}):
\int_{0}^{1}8x^{3}\,dx=8\cdot\frac{1}{4}=2,
\int_{0}^{1}-18x^{2}\,dx=-18\cdot\frac{1}{3}=-6,
\int_{0}^{1}11x\,dx=11\cdot\frac{1}{2}=\frac{11}{2},
\int_{0}^{1}-3\,dx=-3.
Somando:
\langle p,q\rangle=2-6+\frac{11}{2}-3.
Colocando tudo em meio denominador:
2-6-3=-7=\frac{-14}{2},\quad \frac{-14}{2}+\frac{11}{2}=\frac{-3}{2}.
Portanto
\langle p,q\rangle=-\frac{3}{2}.

Passo 4

Calculamos \langle q,q\rangle=\int_{0}^{1} (2x-3)^{2}\,dx. Expandindo:
(2x-3)^{2}=4x^{2}-12x+9.
Integramos de 0 a 1:
\langle q,q\rangle=\int_{0}^{1}(4x^{2}-12x+9)\,dx.
Termo a termo:
\int_{0}^{1}4x^{2}\,dx=4\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{3},
\int_{0}^{1}-12x\,dx=-12\cdot\frac{1}{2}=-6,
\int_{0}^{1}9\,dx=9.
Somando:
\langle q,q\rangle=\frac{4}{3}-6+9=\frac{4}{3}+3=\frac{4+9}{3}=\frac{13}{3}.

Passo 5

Calculamos o coeficiente escalar:
\frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}=\frac{-\tfrac{3}{2}}{\tfrac{13}{3}}=-\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{13}=-\frac{9}{26}.

Passo 6

Finalmente a projeção é
\operatorname{proj}_{\langle q\rangle} p=\left(-\frac{9}{26}\right)(2x-3).
Multiplicando e simplificando:
\operatorname{proj}_{\langle q\rangle} p=-\frac{18}{26}x+\frac{27}{26}=-\frac{9}{13}x+\frac{27}{26}.
Reescrevendo na forma do enunciado:
\operatorname{proj}_{\langle q\rangle} p=\frac{27}{26}-\frac{9x}{13}.
Observação rápida: esse polinômio aparece entre as alternativas; corresponde à alternativa (A).

Resposta

\frac{27}{26}-\frac{9 x}{13}

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