Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 5 12.7
-2 -5 37.6
-1 4 -8.5
0 1 1.6
1 -2 16.9
2 -1 21.8
3 -3 42.9
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(9,7). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
A) 214.2
C) 216.2
D) 217.2
E) 218.2
F) 219.2
G) 220.2
H) 221.2
) 215.2

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.\n
  • Pede: ajustar os parâmetros a, b e c do modelo \;Z=a x^{2}+b y+c\; por mínimos quadrados usando os dados experimentais, e então prever Z para (x,y)=(9,7).\n
  • Dados (peguei-os da tabela do enunciado):\n
    \;(x,y,Z)=\n
    \;(-3,\,5,\,12,7),\;(-2,\,-5,\,37,6),\;(-1,\,4,\,-8,5),\;(0,\,1,\,1,6),\;(1,\,-2,\,16,9),\;(2,\,-1,\,21,8),\;(3,\,-3,\,42,9).\n
  • Número de pontos: \;7\;. Não há outra informação faltando.

Passo 2

Estratégia (método dos mínimos quadrados) — ideia e fórmulas básicas.\n
  • Escrevemos o modelo como um problema linear em termos dos parâmetros: para cada ponto i definimos u_i=x_i^{2}, v_i=y_i e uma coluna de constantes 1. Então para cada i temos\n
    \;Z_i = a u_i + b v_i + c.\n
  • Em forma matricial: \; \mathbf{Z} = X \boldsymbol{\theta}\; com \;\boldsymbol{\theta}=\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix}\; e X a matriz cujas colunas são u,v,1.\n
  • O estimador de mínimos quadrados é a solução das equações normais\n X^{T}X\,\boldsymbol{\theta}=X^{T}\mathbf{Z}.Vou montar essas somas numericamente a partir dos dados e resolver esse sistema linear para \boldsymbol{\theta}.]

Passo 3

Calcular as somas necessárias a partir dos dados (peguei cada valor da tabela).\n
  • Primeiro construo u=x^{2} para cada ponto: \;u=\{9,4,1,0,1,4,9\}.\n
  • Agora as somas (todas obtidas somando os correspondentes valores da tabela):\n
    \displaystyle \sum u = 28,\n
    \displaystyle \sum v = -1,\n
    \displaystyle \sum 1 = 7,\n
    \displaystyle \sum u^{2} = 196,\n
    \displaystyle \sum v^{2} = 81,\n
    \displaystyle \sum u v = -4,\n
    \displaystyle \sum Z = 125,0,\n
    \displaystyle \sum uZ = 746,4,\n
    \displaystyle \sum vZ = -341,2.\n
    (Observe que eu peguei os Z diretamente da tabela — por exemplo Z_1=12,7 — e calculei \sum uZ como \sum x^{2}Z, etc.)

Passo 4

Montar as equações normais numéricas.\n
  • As equações normais ficam (usando as somas acima):
\begin{pmatrix} 196 & -4 & 28\\[4pt] -4 & 81 & -1\\[4pt] 28 & -1 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}746,4\\[4pt]-341,2\\[4pt]125,0\end{pmatrix}.
  • Para evitar lidar com decimais enquanto calculo exatamente, multipliquei tudo por 10 (isto é, defino A=10a, B=10b, C=10c e Z'=10Z). Então o sistema com inteiros é
\begin{pmatrix} 196 & -4 & 28\\[4pt] -4 & 81 & -1\\[4pt] 28 & -1 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\[4pt] B\\[4pt] C\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7464\\[4pt]-3412\\[4pt]1250\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolver o sistema inteiro por eliminação (etapas algébricas com inteiros).\n
  • Faço operações inteiras para eliminar a primeira coluna nas linhas 2 e 3:\n
    49\cdotlinha 2 + linha 1 \Rightarrow nova linha 2: \;0,\;3965,\;-21\;|\;-159724.\n
    7\cdotlinha 3 - linha 1 \Rightarrow nova linha 3: \;0,\;-3,\;21\;|\;1286.\n
    Assim obtemos o sistema equivalente (triangular na primeira coluna):\n
\begin{pmatrix} 196 & -4 & 28\\[4pt] 0 & 3965 & -21\\[4pt] 0 & -3 & 21 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\[4pt] B\\[4pt] C\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7464\\[4pt]-159724\\[4pt]1286\end{pmatrix}.]

Passo 6

Resolver o sistema 2\times 2\) para \(B\) e \(C\), e depois \(A\).\n - As duas últimas equações são \[\begin{cases} 3965\,B -21\,C = -159724,\\[4pt] -3\,B +21\,C = 1286. \end{cases}
  • Somando as duas equações (para eliminar C\]) dá \(\;3962\,B = -158438\;, logo
B = -\frac{158438}{3962} = -\frac{79219}{1981}.
  • Substituindo em -3B+21C=1286 obtemos
C = \frac{2309909}{41601}.
  • Finalmente obtenho A pela primeira equação (ou pela relação 196A = 7464 +4B -28C), resultando em
A = \frac{239178016}{8153796}.
  • Lembrando que A=10a, B=10b, C=10c, os parâmetros buscados são
a = \frac{A}{10}=\frac{239178016}{81537960}\approx 2{,}9118691902,
b = \frac{B}{10}=-\frac{79219}{19810}\approx -3{,}9989403276,
c = \frac{C}{10}=\frac{2309909}{416010}\approx 5{,}5525232391.
(Expliquei as frações exatas para ficar claro que o ajuste foi feito sem perda de exatidão até aqui.)]

Passo 7

Calcular a predição para (x,y)=(9,7).\n
  • Primeiro calculo com as variáveis escaladas ( A,B,C) para manter inteiros: para x=9 temos u=x^{2}=81. A predição multiplicada por 10 é
Z' = A\cdot 81 + B\cdot 7 + C.
  • Substituindo as frações exatas (todas com denominador comum 8153796) obtemos
Z'=\frac{17543703632}{8153796}\approx 2151{,}599699.
  • Voltando à escala original (dividindo por 10) a predição é
Z=\frac{Z'}{10}\approx 215{,}1599699\approx 215{,}16.
  • Arredondando para uma casa decimal (como nas opções dadas), o valor previsto é \;215{,}2\;.

Resposta

215,2

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