Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=5 z+5\right\} é subespaço vetorial.
II - A imagem de uma rotação em \mathbb{R}^{3} não é subespaço vetorial
III - O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmativas e pede que eu indique quais são verdadeiras. As afirmativas são:
I - O conjunto \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=5 z+5\right\} é subespaço vetorial.
II - A imagem de uma rotação em \mathbb{R}^{3} não é subespaço vetorial.
III - O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.
Dados relevantes que o enunciado fornece (ou implica):
  • A afirmativa I define explicitamente um conjunto em \mathbb{R}^3 por uma equação x=5z+5.
  • A afirmativa II fala sobre a imagem (o conjunto de vetores alcançados) por uma rotação em \mathbb{R}^3.
  • A afirmativa III refere-se ao conjunto solução do sistema homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0}.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é preciso para um conjunto W\subseteq\mathbb{R}^n ser um subespaço vetorial (critério prático que você usa em prova):
  • (a) O vetor zero \overrightarrow{0} pertence a W.
  • (b) Fechamento para soma: se \vec{u}\in W e \vec{v}\in W, então \vec{u}+\vec{v}\in W.
  • (c) Fechamento para multiplicação escalar: se \vec{u}\in W e c\in\mathbb{R}, então c\vec{u}\in W.
Essas três propriedades são suficientes e necessárias. Na prática, o teste mais rápido costuma ser ver se \overrightarrow{0}\in W; se não estiver, já dá para concluir que não é subespaço. Se \overrightarrow{0}\in W, aí é preciso checar (b) e (c) (ou provar que W é núcleo/imagem de uma transformação linear, etc.).

Passo 3

Analisando I: o conjunto é
\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=5z+5\right\}.
Verifico a propriedade (a): o vetor zero é \overrightarrow{0}=(0,0,0). Substituo na definição:
x=0,\;z=0 \quad\Rightarrow\quad x = 5z+5 \text{ seria } 0 = 5\cdot 0 + 5 = 5,
o que é falso. Logo \overrightarrow{0}\notin conjunto. Portanto falha a condição (a).

Passo 4

Ainda sobre I: como \overrightarrow{0}\notin conjunto, automaticamente o conjunto não é subespaço vetorial. Intuitivamente, a equação x=5z+5 define um plano deslocado (um plano afim) que não passa pela origem; subespaços precisam passar pela origem. Conclusão: I é falsa.

Passo 5

Analisando II: vou explicar o que é uma rotação em \mathbb{R}^3 do ponto de vista linear e o que é a imagem de uma transformação linear.
  • Uma rotação em \mathbb{R}^3 (como as rotações em torno de um eixo) é uma transformação linear R:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3. “Linear” significa que, para quaisquer vetores \vec{u},\vec{v} e escalar c,
R(\vec{u}+\vec{v}) = R(\vec{u}) + R(\vec{v}),\qquad R(c\vec{u}) = c\,R(\vec{u}).
  • Para qualquer transformação linear T:V\to W, a imagem \mathrm{Im}(T)=\{T(\vec{x})\mid \vec{x}\in V\} é sempre um subespaço de W. Esse é um resultado padrão: fechamentos para soma e multiplicação escalar seguem diretamente da linearidade.
Portanto, a imagem de uma rotação (sendo a imagem de uma transformação linear) é um subespaço de \mathbb{R}^3.

Passo 6

Um comentário adicional que ajuda na intuição: rotações em \mathbb{R}^3 são representadas por matrizes ortogonais com determinante +1. Tais matrizes são invertíveis, então a rotação é bijetora e sua imagem é todo \mathbb{R}^3. Como \mathbb{R}^3 é, claro, um subespaço de \mathbb{R}^3, isso confirma que a afirmação “a imagem de uma rotação em \mathbb{R}^3 não é subespaço” é falsa. Conclusão: II é falsa.

Passo 7

Analisando III: o conjunto solução do sistema homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} é, por definição, o núcleo (ou espaço nulo) da aplicação linear representada por A:
\mathrm{Ker}(A)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^n \mid A\vec{x}=\overrightarrow{0}\}.
Vou provar as três propriedades (a),(b),(c) para \mathrm{Ker}(A):
  • (a) Substituindo \vec{x}=\overrightarrow{0}, obtemos A\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0} (porque multiplicar matriz por vetor zero dá zero). Então \overrightarrow{0}\in\mathrm{Ker}(A).
  • (b) Fechamento para soma: se A\vec{u}=\overrightarrow{0} e A\vec{v}=\overrightarrow{0}, então pela linearidade da multiplicação matricial
A(\vec{u}+\vec{v}) = A\vec{u} + A\vec{v} = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0},
logo \vec{u}+\vec{v}\in\mathrm{Ker}(A).
  • (c) Fechamento para multiplicação escalar: se A\vec{u}=\overrightarrow{0} e c\in\mathbb{R}, então
A(c\vec{u}) = c\,(A\vec{u}) = c\,\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0},
portanto c\vec{u}\in\mathrm{Ker}(A).
Como (a),(b),(c) valem, \mathrm{Ker}(A) é subespaço vetorial. Conclusão: III é verdadeira.

Passo 8

Resumo das conclusões de cada afirmativa:
  • I é falsa (o conjunto não contém o vetor zero; é um plano afim deslocado).
  • II é falsa (imagem de rotação é imagem de transformação linear; é subespaço; de fato, para rotações em \mathbb{R}^3 a imagem costuma ser todo \mathbb{R}^3).
  • III é verdadeira (núcleo de A é subespaço).
Assim, apenas a afirmativa III é verdadeira.

Resposta

(E)

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