Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I -
é subespaço vetorial.
II - A imagem de uma rotação em
não é subespaço vetorial
III - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
é um subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I -
II - A imagem de uma rotação em
III - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmativas e pede que eu indique quais são verdadeiras. As afirmativas são:
I - O conjunto
é subespaço vetorial.
II - A imagem de uma rotação em
não é subespaço vetorial.
III - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
é um subespaço vetorial.
Dados relevantes que o enunciado fornece (ou implica):
- A afirmativa I define explicitamente um conjunto em
por uma equação . - A afirmativa II fala sobre a imagem (o conjunto de vetores alcançados) por uma rotação em
. - A afirmativa III refere-se ao conjunto solução do sistema homogêneo
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é preciso para um conjunto
ser um subespaço vetorial (critério prático que você usa em prova):
- (a) O vetor zero
pertence a . - (b) Fechamento para soma: se
e , então . - (c) Fechamento para multiplicação escalar: se
e , então .
Essas três propriedades são suficientes e necessárias. Na prática, o teste mais rápido costuma ser ver se
; se não estiver, já dá para concluir que não é subespaço. Se
, aí é preciso checar (b) e (c) (ou provar que
é núcleo/imagem de uma transformação linear, etc.).
Passo 3
Analisando I: o conjunto é
Verifico a propriedade (a): o vetor zero é
. Substituo na definição:
o que é falso. Logo
conjunto. Portanto falha a condição (a).
Passo 4
Ainda sobre I: como
conjunto, automaticamente o conjunto não é subespaço vetorial. Intuitivamente, a equação
define um plano deslocado (um plano afim) que não passa pela origem; subespaços precisam passar pela origem. Conclusão: I é falsa.
Passo 5
Analisando II: vou explicar o que é uma rotação em
do ponto de vista linear e o que é a imagem de uma transformação linear.
- Uma rotação em
(como as rotações em torno de um eixo) é uma transformação linear . “Linear” significa que, para quaisquer vetores e escalar ,
- Para qualquer transformação linear
, a imagem é sempre um subespaço de . Esse é um resultado padrão: fechamentos para soma e multiplicação escalar seguem diretamente da linearidade.
Portanto, a imagem de uma rotação (sendo a imagem de uma transformação linear) é um subespaço de
.
Passo 6
Um comentário adicional que ajuda na intuição: rotações em
são representadas por matrizes ortogonais com determinante
. Tais matrizes são invertíveis, então a rotação é bijetora e sua imagem é todo
. Como
é, claro, um subespaço de
, isso confirma que a afirmação “a imagem de uma rotação em
não é subespaço” é falsa. Conclusão: II é falsa.
Passo 7
Analisando III: o conjunto solução do sistema homogêneo
é, por definição, o núcleo (ou espaço nulo) da aplicação linear representada por
:
Vou provar as três propriedades (a),(b),(c) para
:
-
(a) Substituindo
, obtemos (porque multiplicar matriz por vetor zero dá zero). Então . -
(b) Fechamento para soma: se
e , então pela linearidade da multiplicação matricial
logo
.
- (c) Fechamento para multiplicação escalar: se
e , então
portanto
.
Como (a),(b),(c) valem,
é subespaço vetorial. Conclusão: III é verdadeira.
Passo 8
Resumo das conclusões de cada afirmativa:
- I é falsa (o conjunto não contém o vetor zero; é um plano afim deslocado).
- II é falsa (imagem de rotação é imagem de transformação linear; é subespaço; de fato, para rotações em
a imagem costuma ser todo ). - III é verdadeira (núcleo de
é subespaço).
Assim, apenas a afirmativa III é verdadeira.
Resposta
(E)