e o vetor \vec{v}=(-12,13,-1,-10,10).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{1} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado dá uma base ortogonal \beta de \mathbb{R}^5 formada por cinco vetores e o vetor \vec{v}. Pede-se a entrada x_{1} do vetor de coordenadas \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta}. Dados relevantes (peguei os vetores do enunciado):
Aqui \langle \cdot,\cdot\rangle é o produto escalar padrão em \mathbb{R}^5, que para vetores \mathbf{u}=(u_1,\dots,u_5) e \mathbf{w}=(w_1,\dots,w_5) vale
Explicação curta: esse procedimento projeta \vec{v} na direção de \mathbf{b}_1; não precisamos resolver sistema linear porque a ortogonalidade elimina misturas entre coordenadas.
Passo 3
Calcular o numerador \langle \vec{v},\mathbf{b}_1\rangle pelo produto componente a componente:
Pequeno comentário motivador: deu um número inteiro simples, ótimo — e é isso que cai fácil na prova! (Como checagem rápida, -2 vezes a primeira componente de \mathbf{b}_1 é -12, que coincide com a primeira componente de \vec{v}, o que dá intuição de que a projeção nessa direção contribui fortemente para o primeiro componente de \vec{v}.)