Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} 6 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 4 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -4 \\\\ 4 \\\\ -1 \\\\ 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 4 \\\\ 3 \\\\ -3 \\\\ -4 \\\\ 8 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 2 \\\\ -3 \\\\ -3 \\\\ -2 \\\\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ -2 \\\\ -2 \\\\ 3 \\\\ 2 \end{array}\right]\right\}
e o vetor \vec{v}=(-12,13,-1,-10,10).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{1} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá uma base ortogonal \beta de \mathbb{R}^5 formada por cinco vetores e o vetor \vec{v}. Pede-se a entrada x_{1} do vetor de coordenadas \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta}. Dados relevantes (peguei os vetores do enunciado):
\mathbf{b}_1=\begin{pmatrix}6\\[2pt]1\\[2pt]1\\[2pt]4\\[2pt]-1\end{pmatrix},\quad \mathbf{b}_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-4\\[2pt]4\\[2pt]-1\\[2pt]2\end{pmatrix},\quad \mathbf{b}_3=\begin{pmatrix}4\\[2pt]3\\[2pt]-3\\[2pt]-4\\[2pt]8\end{pmatrix},\quad \mathbf{b}_4=\begin{pmatrix}2\\[2pt]-3\\[2pt]-3\\[2pt]-2\\[2pt]-2\end{pmatrix},\quad \mathbf{b}_5=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-2\\[2pt]-2\\[2pt]3\\[2pt]2\end{pmatrix},
\vec{v}=\begin{pmatrix}-12\\[2pt]13\\[2pt]-1\\[2pt]-10\\[2pt]10\end{pmatrix}.
Pergunta explícita: calcular x_{1}, a primeira coordenada de \vec{v} na base \beta.]

Passo 2

Porque \beta é ortogonal, existe uma fórmula direta para a coordenada x_{1}. Vou explicar por que e qual fórmula usar.
Se escrevermos
\vec{v}=x_{1}\mathbf{b}_1+x_{2}\mathbf{b}_2+\cdots+x_{5}\mathbf{b}_5,
e escalar (produto interno) ambos os lados por \mathbf{b}_1, obtemos
\langle \vec{v},\mathbf{b}_1\rangle = x_{1}\langle \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_1\rangle + x_{2}\langle \mathbf{b}_2,\mathbf{b}_1\rangle +\cdots+x_{5}\langle \mathbf{b}_5,\mathbf{b}_1\rangle.
Como a base é ortogonal, para i\neq1 vale \langle \mathbf{b}_i,\mathbf{b}_1\rangle=0. Logo sobra
\langle \vec{v},\mathbf{b}_1\rangle = x_{1}\langle \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_1\rangle.
Assim a fórmula para x_{1} é
x_{1}=\frac{\langle \vec{v},\mathbf{b}_1\rangle}{\langle \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_1\rangle}.
Aqui \langle \cdot,\cdot\rangle é o produto escalar padrão em \mathbb{R}^5, que para vetores \mathbf{u}=(u_1,\dots,u_5) e \mathbf{w}=(w_1,\dots,w_5) vale
\langle \mathbf{u},\mathbf{w}\rangle = u_1w_1+u_2w_2+u_3w_3+u_4w_4+u_5w_5.
Explicação curta: esse procedimento projeta \vec{v} na direção de \mathbf{b}_1; não precisamos resolver sistema linear porque a ortogonalidade elimina misturas entre coordenadas.

Passo 3

Calcular o numerador \langle \vec{v},\mathbf{b}_1\rangle pelo produto componente a componente:
\langle \vec{v},\mathbf{b}_1\rangle = (-12)\cdot 6 + 13\cdot 1 + (-1)\cdot 1 + (-10)\cdot 4 + 10\cdot(-1).
Agora somando termo a termo:
(-12)\cdot 6 = -72,\quad 13\cdot 1 = 13,\quad (-1)\cdot 1 = -1,\quad (-10)\cdot 4 = -40,\quad 10\cdot(-1)=-10,
\langle \vec{v},\mathbf{b}_1\rangle = -72 + 13 -1 -40 -10 = -110.

Passo 4

Calcular o denominador \langle \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_1\rangle:
\langle \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_1\rangle = 6^2 + 1^2 + 1^2 + 4^2 + (-1)^2 = 36+1+1+16+1 = 55.

Passo 5

Aplicar a fórmula:
x_{1}=\frac{\langle \vec{v},\mathbf{b}_1\rangle}{\langle \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_1\rangle} =\frac{-110}{55}=-2.
Pequeno comentário motivador: deu um número inteiro simples, ótimo — e é isso que cai fácil na prova! (Como checagem rápida, -2 vezes a primeira componente de \mathbf{b}_1 é -12, que coincide com a primeira componente de \vec{v}, o que dá intuição de que a projeção nessa direção contribui fortemente para o primeiro componente de \vec{v}.)

Resposta

(C) -2

Exercícios relacionados