Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinómios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=-6 x^{2}+3 x-3 sobre \mathcal{P}_{1}.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p e de a x+b, para diversos valores de a e b. O observe que a melhor aproximação de p no intervalo [0,1] por um polinómio da forma a x+b é dada pela projeção ortogonal que vocé calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximaçāo sería outra).
(A) -3 x-2
(B) 3 x-3
(C) -3 x-3
(D) 3 x-2
(E) -x-3
(F) -x-2

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o produto interno em \mathcal{P}_2:
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx.
  • O polinómio a projetar é p(x)=-6x^{2}+3x-3.
  • Pede-se a projeção ortogonal de p sobre \mathcal{P}_{1}, isto é, o polinómio da forma q(x)=a x+b que é a projeção de p em \mathcal{P}_1.
  • As alternativas oferecidas são:
    (A) -3 x-2, (B) 3 x-3, (C) -3 x-3, (D) 3 x-2, (E) -x-3, (F) -x-2.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): a projeção ortogonal q de p sobre \mathcal{P}_1 é o único polinómio q(x)=a x+b tal que p-q é ortogonal a todo polinómio de \mathcal{P}_1. Como \{1,x\} é base de \mathcal{P}_1, isso equivale a exigir:
\langle p-q,1\rangle=0 \qquad\text{e}\qquad \langle p-q,x\rangle=0.
Isto vem da definição de ortogonalidade: p-q deve ter produto interno zero com quaisquer geradores da subespaco (aqui 1 e x). Essas duas equações dão um sistema linear para a e b.

Passo 3

Escrever as equações dos produtos internos e calcular a primeira:
\langle p-q,1\rangle=\int_{0}^{1}\big(p(x)-a x-b\big)\,dx=0.
Calculemos \int_{0}^{1}p(x)\,dx. Usando antiderivadas:
\int_{0}^{1}(-6x^{2}+3x-3)\,dx = \big[-6\cdot\frac{x^{3}}{3}+3\cdot\frac{x^{2}}{2}-3x\big]_{0}^{1} = -6\cdot\frac{1}{3}+3\cdot\frac{1}{2}-3 = -2+ \tfrac{3}{2}-3.
Fazendo as contas:
-2+\tfrac{3}{2}-3 = -5 + \tfrac{3}{2} = -\tfrac{7}{2}.
Também \int_{0}^{1}x\,dx=\tfrac{1}{2} e \int_{0}^{1}1\,dx=1. Portanto a primeira equação fica:
-\tfrac{7}{2}-a\cdot\tfrac{1}{2}-b\cdot 1 =0.
Multiplicando por 2 para limpar denominadores:
-7 - a - 2b = 0 \quad\Longrightarrow\quad a + 2b = -7.

Passo 4

Calcular a segunda equação:
\langle p-q,x\rangle=\int_{0}^{1}\big(p(x)-a x-b\big)x\,dx=0.
Primeiro calcule \int_{0}^{1}p(x)x\,dx:
\int_{0}^{1}(-6x^{3}+3x^{2}-3x)\,dx = \big[-6\cdot\frac{x^{4}}{4}+3\cdot\frac{x^{3}}{3}-3\cdot\frac{x^{2}}{2}\big]_{0}^{1} = -6\cdot\tfrac{1}{4}+1 - \tfrac{3}{2}.
Fazendo as contas:
- \tfrac{6}{4} + 1 - \tfrac{3}{2} = -\tfrac{3}{2} + 1 - \tfrac{3}{2} = -3 + 1 = -2.
Também \int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\tfrac{1}{3} e \int_{0}^{1}x\,dx=\tfrac{1}{2}. Assim, a segunda equação é:
-2 - a\cdot\tfrac{1}{3} - b\cdot\tfrac{1}{2} = 0.
Multiplicando por 6 para eliminar denominadores:
-12 - 2a - 3b = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2a + 3b = -12.

Passo 5

Resolver o sistema linear obtido:
\begin{cases} a + 2b = -7,\\[4pt] 2a + 3b = -12. \end{cases}
Multiplicando a primeira equação por 2 obtemos 2a + 4b = -14. Subtraindo a segunda equação:
(2a+4b)-(2a+3b) = -14 - (-12) \quad\Longrightarrow\quad b = -2.
Com b=-2 na primeira equação:
a + 2(-2) = -7 \quad\Longrightarrow\quad a -4 = -7 \quad\Longrightarrow\quad a = -3.
Logo a projeção é
q(x)=a x + b = -3x - 2.]

Passo 6

Pequena verificação (opcional, para garantir que está tudo certo): calcular \langle p-q,1\rangle e \langle p-q,x\rangle com q(x)=-3x-2 irá dar zero (as equações foram precisamente construídas para isso), confirmando que q é a projeção ortogonal.

Resposta

(A) -3 x-2

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