Q14: Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinómios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
sobre
.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
e de
, para diversos valores de
e
. O observe que a melhor aproximação de
no intervalo
por um polinómio da forma
é dada pela projeção ortogonal que vocé calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximaçāo sería outra).
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado o produto interno em
:
- O polinómio a projetar é
. - Pede-se a projeção ortogonal de
sobre , isto é, o polinómio da forma que é a projeção de em . - As alternativas oferecidas são:
(A), (B) , (C) , (D) , (E) , (F) .
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): a projeção ortogonal
de
sobre
é o único polinómio
tal que
é ortogonal a todo polinómio de
. Como
é base de
, isso equivale a exigir:
Isto vem da definição de ortogonalidade:
deve ter produto interno zero com quaisquer geradores da subespaco (aqui
e
). Essas duas equações dão um sistema linear para
e
.
Passo 3
Escrever as equações dos produtos internos e calcular a primeira:
Calculemos
. Usando antiderivadas:
Fazendo as contas:
Também
e
. Portanto a primeira equação fica:
Multiplicando por
para limpar denominadores:
Passo 4
Calcular a segunda equação:
Primeiro calcule
:
Fazendo as contas:
Também
e
. Assim, a segunda equação é:
Multiplicando por
para eliminar denominadores:
Passo 5
Resolver o sistema linear obtido:
Multiplicando a primeira equação por
obtemos
. Subtraindo a segunda equação:
Com
na primeira equação:
Logo a projeção é
Passo 6
Pequena verificação (opcional, para garantir que está tudo certo): calcular
e
com
irá dar zero (as equações foram precisamente construídas para isso), confirmando que
é a projeção ortogonal.
Resposta
(A)