Q14: Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinõmios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeçāo ortogonal de
sobre
.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será ûtil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os graficos de
, para diversos valores de
e
.
observe que a melhor aproximação de
no intervalo
por um polinômio da forma
é dada pela projeção ortogonal que voce calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximaçāo seria outra).
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será ûtil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os graficos de
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Espaço vetorial:
, polinômios reais de grau . - Produto interno definido por
. - Polinômio a projetar:
. - Subespaço alvo da projeção:
, ou seja polinômios da forma . - Pedido: encontrar a projeção ortogonal de
sobre . - Alternativas disponíveis:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Passo 2
O que significa “projeção ortogonal” aqui (explicação didática curta e intuitiva): a projeção ortogonal
é o único polinômio
tal que o erro
é ortogonal a todo polinômio de
segundo o produto interno dado. Em símbolos, para toda
vale
. Isso é equivalente a dizer que
é a melhor aproximação de
em norma
no intervalo
.
Passo 3
Escolhemos a forma genérica do candidato da projeção:
com incógnitas reais
e
. As condições de ortogonalidade tomam-se com as bases naturais de
, por exemplo
e
. Assim impomos:
Estas são as “equações normais” que determinam
e
.
Passo 4
Escrevendo explicitamente a primeira condição:
Vamos calcular cada integral passo a passo.
Calcule
com
:
Somando:
Também:
Substituindo na primeira equação:
Multiplicando por
para simplificar:
Passo 5
Agora a segunda condição:
Calculemos
. Multiplicando
por
obtemos
. Integrando termo a termo:
Somando:
Também precisamos de
e já sabemos
.
Substituindo na segunda equação:
Multiplicando por
para eliminar denominadores:
Passo 6
Resolvemos o sistema linear:
Multiplique a primeira equação por
:
. Subtraindo a segunda equação
obtemos:
Com
na segunda equação
:
Passo 7
Portanto a projeção ortogonal é
Comentário didático final: isso significa que
é o polinômio de grau
que minimiza
. Em termos geométricos no espaço com produto interno dado,
fica perpendicular a todo
.
Resposta
(D)