Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinõmios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeçāo ortogonal de p(x)=-6 x^{2}+9 x-3 sobre \mathcal{P}_{1}.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será ûtil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os graficos de p e d e a x+b, para diversos valores de a e b. O observe que a melhor aproximação de p no intervalo [0,1] por um polinômio da forma a x+b é dada pela projeção ortogonal que voce calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximaçāo seria outra).
(A) 9 x-2
(B) 3 x-3
(C) 9 x-3
(D) 3 x-2
(E) 6 x-2
(F) 6 x-3

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Espaço vetorial: \mathcal{P}_{2}, polinômios reais de grau \le 2.
  • Produto interno definido por \langle p,q\rangle=\displaystyle\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx.
  • Polinômio a projetar: p(x)=-6x^{2}+9x-3.
  • Subespaço alvo da projeção: \mathcal{P}_{1}, ou seja polinômios da forma q(x)=ax+b.
  • Pedido: encontrar a projeção ortogonal de p sobre \mathcal{P}_{1}.
  • Alternativas disponíveis:
    (A) 9x-2
    (B) 3x-3
    (C) 9x-3
    (D) 3x-2
    (E) 6x-2
    (F) 6x-3

Passo 2

O que significa “projeção ortogonal” aqui (explicação didática curta e intuitiva): a projeção ortogonal \operatorname{proj}_{\mathcal{P}_1} p é o único polinômio q(x)=ax+b\in\mathcal{P}_1 tal que o erro p-q é ortogonal a todo polinômio de \mathcal{P}_1 segundo o produto interno dado. Em símbolos, para toda r\in\mathcal{P}_1 vale \langle p-q, r\rangle=0. Isso é equivalente a dizer que q é a melhor aproximação de p em norma L^2 no intervalo [0,1].

Passo 3

Escolhemos a forma genérica do candidato da projeção: q(x)=ax+b com incógnitas reais a e b. As condições de ortogonalidade tomam-se com as bases naturais de \mathcal{P}_1, por exemplo 1 e x. Assim impomos:
\langle p-q, 1\rangle=0 \qquad\text{e}\qquad \langle p-q, x\rangle=0.
Estas são as “equações normais” que determinam a e b.

Passo 4

Escrevendo explicitamente a primeira condição:
\langle p-q,1\rangle=\int_{0}^{1}\big(p(x)-ax-b\big)\,dx=0.
Vamos calcular cada integral passo a passo.
Calcule \displaystyle\int_{0}^{1} p(x)\,dx com p(x)=-6x^{2}+9x-3:
\int_{0}^{1}-6x^{2}\,dx=-6\cdot\frac{1^{3}}{3}=-2,
\int_{0}^{1}9x\,dx=9\cdot\frac{1^{2}}{2}=\frac{9}{2},
\int_{0}^{1}-3\,dx=-3\cdot 1=-3.
Somando:
\int_{0}^{1}p(x)\,dx=-2+\frac{9}{2}-3=-\frac{1}{2}.
Também:
\int_{0}^{1}x\,dx=\frac{1}{2},\qquad \int_{0}^{1}1\,dx=1.
Substituindo na primeira equação:
-\frac{1}{2}-a\cdot\frac{1}{2}-b\cdot 1=0.
Multiplicando por 2 para simplificar:
-1 - a - 2b = 0 \quad\Longrightarrow\quad a + 2b = -1.

Passo 5

Agora a segunda condição:
\langle p-q, x\rangle=\int_{0}^{1}\big(p(x)-ax-b\big)x\,dx=0.
Calculemos \displaystyle\int_{0}^{1} p(x)\,x\,dx. Multiplicando p(x) por x obtemos -6x^{3}+9x^{2}-3x. Integrando termo a termo:
\int_{0}^{1}-6x^{3}\,dx=-6\cdot\frac{1}{4}=-\frac{3}{2},
\int_{0}^{1}9x^{2}\,dx=9\cdot\frac{1}{3}=3,
\int_{0}^{1}-3x\,dx=-3\cdot\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}.
Somando:
\int_{0}^{1}p(x)x\,dx=-\frac{3}{2}+3-\frac{3}{2}=0.
Também precisamos de \int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\dfrac{1}{3} e já sabemos \int_{0}^{1}x\,dx=\dfrac{1}{2}.
Substituindo na segunda equação:
0 - a\cdot\frac{1}{3} - b\cdot\frac{1}{2}=0.
Multiplicando por 6 para eliminar denominadores:
-2a - 3b = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2a + 3b = 0.

Passo 6

Resolvemos o sistema linear:
\begin{cases} a + 2b = -1,\\[4pt] 2a + 3b = 0. \end{cases}
Multiplique a primeira equação por 2: 2a + 4b = -2. Subtraindo a segunda equação 2a+3b=0 obtemos:
(2a+4b)-(2a+3b) = -2 - 0 \quad\Rightarrow\quad b = -2.
Com b=-2 na segunda equação 2a+3b=0:
2a + 3(-2)=0 \quad\Rightarrow\quad 2a -6 = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 3.]

Passo 7

Portanto a projeção ortogonal é
q(x)=ax+b=3x-2.
Comentário didático final: isso significa que 3x-2 é o polinômio de grau \le 1 que minimiza \int_{0}^{1} (p(x)- (ax+b))^{2}dx. Em termos geométricos no espaço com produto interno dado, p-q fica perpendicular a todo \mathcal{P}_1.

Resposta

(D) 3x-2

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