Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ -3 \\\\ 2 \\\\ -3 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 7 \\\\ 5 \\\\ -2 \\\\ -7 \\\\ -5 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -2 \\\\ -3 \\\\ -1 \\\\ 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 5 \\\\ -3 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ -1 \\\\ 3 \end{array}\right]\right\}
e o vetor \vec{v}=(-13,2,-1,9,2).
Seja \vec{x}=[\vec{\theta}]_{a} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relaçiò à base \beta. Calcule a entrada x_{5} do wetor \vec{x}. (Dica não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá uma base ortogonal de \mathbb{R}^{5},
\beta=\left\{\;b_{1},\,b_{2},\,b_{3},\,b_{4},\,b_{5}\;\right\},
onde os vetores são os cinco vetores listados (peguei os componentes do enunciado). Também é dado o vetor
\vec{v}=(-13,2,-1,9,2).
O que o enunciado pede: calcular a coordenada x_{5} de \vec{v} em relação à base \beta. Em outras palavras, se escrevemos
\vec{v}=x_{1}b_{1}+x_{2}b_{2}+x_{3}b_{3}+x_{4}b_{4}+x_{5}b_{5},
queremos encontrar o valor de x_{5}. (Dica do enunciado: como a base é ortogonal, não é preciso resolver um sistema.)

Passo 2

Fórmula útil para bases ortogonais (explicação didática). Se \{b_{1},\dots,b_{n}\} é uma base ortogonal de \mathbb{R}^{n} (isto é, \langle b_{i},b_{j}\rangle=0 para i\neq j), então as coordenadas de \vec{v} nessa base são dadas por
x_{i}=\frac{\langle \vec{v},b_{i}\rangle}{\langle b_{i},b_{i}\rangle},
onde \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno usual de \mathbb{R}^{n} (produto escalar). Vou explicar por que isso vale, passo a passo:
  • Escrevendo \vec{v}=\sum_{k=1}^{n} x_{k} b_{k} e fazendo produto interno com b_{i} obtemos \langle \vec{v},b_{i}\rangle=\left\langle \sum_{k=1}^{n} x_{k} b_{k},\,b_{i}\right\rangle=\sum_{k=1}^{n} x_{k}\langle b_{k},b_{i}\rangle.
  • Como a base é ortogonal, todos os termos com k\neq i são zero, sobrando apenas \langle \vec{v},b_{i}\rangle = x_{i}\langle b_{i},b_{i}\rangle.
  • Isolando x_{i} tem-se exatamente x_{i}=\frac{\langle \vec{v},b_{i}\rangle}{\langle b_{i},b_{i}\rangle}.
Portanto, para achar x_{5} precisamos calcular \langle \vec{v},b_{5}\rangle e \langle b_{5},b_{5}\rangle.

Passo 3

Identificar b_{5} (peguei da base do enunciado):
b_{5}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]2\\[2pt]-1\\[2pt]3\end{pmatrix}.
Agora vamos calcular o produto interno \langle \vec{v},b_{5}\rangle. Pelo produto escalar padrão,
\langle \vec{v},b_{5}\rangle = (-13)\cdot 1 \;+\; 2\cdot 1 \;+\; (-1)\cdot 2 \;+\; 9\cdot(-1) \;+\; 2\cdot 3.
Calculemos termo a termo, com calma:
(-13)\cdot 1 = -13,
2\cdot 1 = 2,
(-1)\cdot 2 = -2,
9\cdot(-1) = -9,
2\cdot 3 = 6.
Somando tudo:
\langle \vec{v},b_{5}\rangle = -13 + 2 - 2 - 9 + 6.
Agora faça as somas em ordem conveniente: -13+2=-11, -11-2=-13, -13-9=-22, -22+6=-16. Assim
\langle \vec{v},b_{5}\rangle = -16.]

Passo 4

Agora calculamos \langle b_{5},b_{5}\rangle, que é o quadrado da norma de b_{5}, isto é, a soma dos quadrados das componentes de b_{5}:
\langle b_{5},b_{5}\rangle = 1^{2} + 1^{2} + 2^{2} + (-1)^{2} + 3^{2}.
Calculando:
1^{2}=1,\quad 1^{2}=1,\quad 2^{2}=4,\quad (-1)^{2}=1,\quad 3^{2}=9.
Somando: 1+1+4+1+9 = 16. Portanto
\langle b_{5},b_{5}\rangle = 16.

Passo 5

Aplicando a fórmula da Passo 2 para x_{5}:
x_{5}=\frac{\langle \vec{v},b_{5}\rangle}{\langle b_{5},b_{5}\rangle}=\frac{-16}{16}.
Simplificando a fração obtemos
x_{5}=-1.

Resposta

-1 (opção (D))

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