Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} não é um subespaço vetorial.
II. \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=4 z+4\right\} não é subespaço vetorial.
III. O núcleo de uma rotação em \mathbb{R}^{3} não é subespaço vetorial
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá três afirmativas (I, II, III) e pede que se identifique quais são verdadeiras ou falsas, escolhendo uma das alternativas (A) a (H). As afirmativas são:
  • I. O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} não é um subespaço vetorial.
  • II. \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=4 z+4\} não é subespaço vetorial.
  • III. O núcleo de uma rotação em \mathbb{R}^{3} não é subespaço vetorial.
O que se pede: decidir, para cada uma das três afirmativas, se ela é verdadeira ou falsa, e assim escolher a alternativa correta entre (A)–(H).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar (com calma) o que significa “subespaço vetorial” e o que é “núcleo (ou núcleo/ker) de uma transformação linear” — isso vai ser útil para testar cada afirmativa.
  • Uma parte W de um espaço vetorial (aqui \mathbb{R}^n) é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades equivalentes (usar qualquer uma basta):
    1. W contém o vetor zero \vec{0}.
    2. W é fechada sob soma: se \vec{u},\vec{v}\in W então \vec{u}+\vec{v}\in W.
    3. W é fechada sob multiplicação escalar: se \vec{u}\in W e c\in\mathbb{R} então c\vec{u}\in W.
    Uma forma prática: verificar se \vec{0}\in W e se W é fechado sob combinações lineares (fechamento por soma e por escalar). Se qualquer uma falha, não é subespaço.
  • O núcleo (ou null space) de uma transformação linear T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m é o conjunto \ker(T)=\{\vec{v}\in\mathbb{R}^n \mid T(\vec{v})=\vec{0}\}. Propriedade importante: o núcleo de qualquer transformação linear é sempre um subespaço vetorial — vamos mostrar isso quando for preciso.
  • O conjunto solução do sistema homogêneo A\vec{x}=\vec{0} é exatamente \ker(A) (o núcleo da transformação linear representada por A). Portanto, se algo é núcleo de uma transformação linear, tem as propriedades de subespaço (contém \vec{0}, fechado sob soma e escalar).
Agora aplicamos essas ideias às três afirmativas.

Passo 3

Avaliação da afirmativa I.
A afirmativa I diz que o conjunto solução do sistema homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} não é um subespaço vetorial.
  • Observação: o conjunto solução do sistema homogêneo é exatamente \ker(A)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^n \mid A\vec{x}=\vec{0}\}.
  • Prova direta de que \ker(A) é subespaço:
    1. A\vec{0}=\vec{0}, logo \vec{0}\in\ker(A).
    2. Se \vec{u},\vec{v}\in\ker(A), então A(\vec{u}+\vec{v})=A\vec{u}+A\vec{v}=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}. Portanto \vec{u}+\vec{v}\in\ker(A).
    3. Se c\in\mathbb{R} e \vec{u}\in\ker(A), então A(c\vec{u})=cA\vec{u}=c\vec{0}=\vec{0}. Logo c\vec{u}\in\ker(A).
Essas três propriedades mostram que \ker(A) é subespaço vetorial. Portanto a afirmativa I, que diz que esse conjunto “não é um subespaço”, é falsa.

Passo 4

Comentário didático sobre I (para fixar a ideia): sempre que o sistema for homogêneo ( =\vec{0}), a solução forma um subespaço — intuitivamente porque soma de duas soluções ainda anula A e escalar de uma solução também. Exemplinho rápido: para A=[1\\\ 0] (mapa \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}), o sistema x=0 tem soluções \{(0,y)\}, que é um subespaço (o eixo y). Não precisa decorar: basta lembrar “solução homogênea = núcleo = subespaço”.

Passo 5

Avaliação da afirmativa II.
A afirmativa II é: \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=4 z+4\} não é subespaço vetorial.
  • Teste rápido e muito prático: verifique se o vetor zero \vec{0}=(0,0,0) pertence ao conjunto. Substituindo em \;y=4z+4\; obtemos 0 = 4\cdot 0 + 4 = 4, que é falso. Portanto \vec{0}\notin conjunto.
  • Como condição necessária para ser subespaço é conter \vec{0}, já está provado que esse conjunto NÃO é subespaço.
Comentário extra (didático): o conjunto dado é um plano afim (uma tradução de um subespaço) — tem forma \{(x,y,z)\mid y-4z=4\}, que é um plano paralelo ao subespaço \{y-4z=0\} mas deslocado por um vetor que faz a constante 4. Planos afins geralmente não contêm a origem e, portanto, não são subespaços (a menos que a constante fosse zero).
Conclusão: a afirmativa II diz que o conjunto “não é subespaço” — isso é verdadeiro.

Passo 6

Avaliação da afirmativa III.
A afirmativa III diz: o núcleo de uma rotação em \mathbb{R}^{3} não é subespaço vetorial.
Primeiro, o que é “núcleo de uma rotação”? Uma rotação R:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 (por exemplo, rotações em torno de um eixo que passa pela origem) é uma transformação linear: para cada vetor \vec{v} associa-se R(\vec{v}), o vetor rotacionado. O núcleo é \ker(R)=\{\vec{v}\mid R(\vec{v})=\vec{0}\}.
Agora, duas observações simples e úteis sobre rotações (transformações geométricas usuais):
  • Uma rotação em \mathbb{R}^3 que gira ao redor de um eixo que passa pela origem preserva normas (comprimentos): \|R(\vec{v})\|=\|\vec{v}\| para todo \vec{v}. Isso porque rotação apenas muda direção, não módulo.
  • Consequência: se R(\vec{v})=\vec{0} então \|R(\vec{v})\|=0, logo \|\vec{v}\|=0, então \vec{v}=\vec{0}. Assim \ker(R)=\{\vec{0}\}.
Outra justificativa: rotações são invertíveis (a inversa é a rotação pelo ângulo negativo), então só enviam \vec{0} para \vec{0}; um mapa invertível tem núcleo trivial \{\vec{0}\}.
Como \{\vec{0}\} é um subespaço (contém o zero, fechado por soma e escalar trivialmente), o núcleo de uma rotação é de fato um subespaço vetorial (o subespaço trivial). Logo a afirmativa III, que diz que o núcleo “não é subespaço”, é falsa.
Observação: pode haver confusão com vetores que permanecem fixos pela rotação (por exemplo, vetores ao longo do eixo de rotação são mapeados em si mesmos), mas serem fixos não significa serem levados ao \vec{0}. A única forma de um vetor não-nulo ir para \vec{0} seria “esmagá-lo”, o que não acontece numa rotação.

Passo 7

Resumo das três afirmativas:
  • I é falsa (o conjunto solução do homogêneo é subespaço).
  • II é verdadeira (o conjunto não contém \vec{0} e, portanto, não é subespaço).
  • III é falsa (o núcleo de uma rotação é \{\vec{0}\}, que é subespaço).
Portanto a única afirmativa verdadeira é a II. Isso corresponde à alternativa (C).

Resposta

(C) Só II é verdadeira.

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