Q14: Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação
T(x, y, z)=\left(9 x-2 y-8 z, \frac{y}{6}+4 z, z\right)
e seja Q \subset \mathbb{R}^{3} um paralelepípedo com volume 7. O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) é igual ao volume de Q.
(B) é menor do que o volume de Q.
(C) pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(D) é maior do que o volume de Q.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z)=\bigl(9x-2y-8z,\;\tfrac{y}{6}+4z,\;z\bigr)
e informa que Q\subset\mathbb{R}^3 é um paralelepípedo com volume 7. A pergunta é: como fica o volume de T(Q) em relação ao volume de Q? (as alternativas são (A) igual, (B) menor, (C) pode ser maior ou menor, (D) maior).

Passo 2

Conceito importante que vamos usar (explicado devagar, como se estivéssemos estudando juntos):
  • Se T é uma transformação linear e A é a matriz que representa T na base canônica, então T multiplica volumes por um fator igual ao determinante assinado de A. Ou seja, o volume de T(Q) vale |\det A| vezes o volume de Q.
  • Intuição em 2D (exemplo concreto): uma matriz diagonal \begin{pmatrix}2&0\\\ 0&3\end{pmatrix} estica uma unidade quadrada em lados 2 e 3, resultando em um retângulo de área 2\cdot 3=6; o determinante é 2\cdot3=6, que é justamente o fator de escala da área.
  • Portanto, nosso trabalho prático é: escrever a matriz A de T, calcular \det A, e multiplicar o volume de Q por |\det A|.

Passo 3

Vamos achar a matriz A de T na base canônica. Basta aplicar T aos vetores da base \mathbf{e}_1=(1,0,0), \mathbf{e}_2=(0,1,0), \mathbf{e}_3=(0,0,1) e colocar os resultados nas colunas:
  • T(\mathbf{e}_1)=T(1,0,0)=(9,0,0).
  • T(\mathbf{e}_2)=T(0,1,0)=(-2,\tfrac{1}{6},0).
  • T(\mathbf{e}_3)=T(0,0,1)=(-8,4,1).
Logo, a matriz A é
A=\begin{pmatrix} 9 & -2 & -8\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{6} & 4\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Repare que A é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero).]

Passo 4

Propriedade útil de matrizes triangulares: o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Assim,
\det A = 9\cdot \tfrac{1}{6}\cdot 1.
Fazendo a conta:
9\cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{9}{6} = \tfrac{3}{2}.
Portanto \det A = \tfrac{3}{2}. Como \tfrac{3}{2}>0, o fator de escala absoluto é |\det A|=\tfrac{3}{2}.

Passo 5

Aplicando a regra de escala de volumes: o volume de T(Q) é
\text{Vol}(T(Q)) = |\det A|\cdot \text{Vol}(Q) = \tfrac{3}{2}\cdot 7 = \tfrac{21}{2}.
Numérico, \tfrac{21}{2}=10{,}5, que é maior que 7. Ou seja, T aumenta o volume do paralelepípedo Q.

Resposta

(D)

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