Q14: Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação
T(x, y, z)=\left(9 x-2 y-8 z, \frac{y}{6}+4 z, z\right)
e seja Q \subset \mathbb{R}^{3} um paralelepípedo com volume 7. O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) é igual ao volume de Q.
(B) é menor do que o volume de Q.
(C) pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(D) é maior do que o volume de Q.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
e informa que Q\subset\mathbb{R}^3 é um paralelepípedo com volume 7. A pergunta é: como fica o volume de T(Q) em relação ao volume de Q? (as alternativas são (A) igual, (B) menor, (C) pode ser maior ou menor, (D) maior).
Passo 2
Conceito importante que vamos usar (explicado devagar, como se estivéssemos estudando juntos):
Se T é uma transformação linear e A é a matriz que representa T na base canônica, então T multiplica volumes por um fator igual ao determinante assinado de A. Ou seja, o volume de T(Q) vale |\det A| vezes o volume de Q.
Intuição em 2D (exemplo concreto): uma matriz diagonal \begin{pmatrix}2&0\\\ 0&3\end{pmatrix} estica uma unidade quadrada em lados 2 e 3, resultando em um retângulo de área 2\cdot 3=6; o determinante é 2\cdot3=6, que é justamente o fator de escala da área.
Portanto, nosso trabalho prático é: escrever a matriz A de T, calcular \det A, e multiplicar o volume de Q por |\det A|.
Passo 3
Vamos achar a matriz A de T na base canônica. Basta aplicar T aos vetores da base \mathbf{e}_1=(1,0,0), \mathbf{e}_2=(0,1,0), \mathbf{e}_3=(0,0,1) e colocar os resultados nas colunas: