Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) \frac{1}{2}
(B) -\frac{3}{5}
(C) \frac{4}{5}
(D) -\frac{3}{4}
(E) \frac{3}{5}
(F) \frac{3}{4}
(G) -\frac{1}{2}
que representa uma rotação em torno de um eixo que passa pela origem em \mathbb{R}^3, e pede o cosseno do ângulo dessa rotação.
Informações relevantes fornecidas:
R \quad\text{(matriz de rotação em \(\mathbb{R}^3\))}.çã
Dica do enunciado: determinar o eixo de rotação, escolher uma direção ortogonal ao eixo e calcular o ângulo que essa direção é rodada.]
Passo 2
Ideia e ferramentas que vamos usar (explicadas devagar):
O eixo de rotação é uma direção que não muda quando aplicamos R; portanto existe um vetor não nulo v tal que
R v = v.
Isso significa que v é autovetor de R associado ao autovalor 1. Para encontrar v resolveremos (R-I)v=0.
Depois de achar um vetor v do eixo, escolhemos um vetor w ortogonal a v. Como R é rotação, ele preserva normas, e a projeção de Rw sobre w dá o cosseno do ângulo: mais precisamente
\cos\theta=\frac{w\cdot Rw}{\|w\|^2},
pois \|Rw\|=\|w\| e (w\cdot Rw)=\|w\|\,\|Rw\|\cos\theta=\|w\|^2\cos\theta.]