Q12: A matriz R abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em \mathbb{R}^{3} :
R=\frac{1}{45}\left[\begin{array}{rrr} 29 & 20 & -28 \\\\ -28 & 35 & -4 \\\\ 20 & 20 & 35 \end{array}\right]
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) \frac{1}{2}
(B) -\frac{3}{5}
(C) \frac{4}{5}
(D) -\frac{3}{4}
(E) \frac{3}{5}
(F) \frac{3}{4}
(G) -\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado dá a matriz
R=\frac{1}{45}\begin{pmatrix}29 & 20 & -28\\[4pt]-28 & 35 & -4\\[4pt]20 & 20 & 35\end{pmatrix}
que representa uma rotação em torno de um eixo que passa pela origem em \mathbb{R}^3, e pede o cosseno do ângulo dessa rotação.
Informações relevantes fornecidas:
R \quad\text{(matriz de rotação em \(\mathbb{R}^3\))}.çã
Dica do enunciado: determinar o eixo de rotação, escolher uma direção ortogonal ao eixo e calcular o ângulo que essa direção é rodada.]

Passo 2

Ideia e ferramentas que vamos usar (explicadas devagar):
  • O eixo de rotação é uma direção que não muda quando aplicamos R; portanto existe um vetor não nulo v tal que
R v = v.
Isso significa que v é autovetor de R associado ao autovalor 1. Para encontrar v resolveremos (R-I)v=0.
  • Como R=\dfrac{1}{45}A onde
A=\begin{pmatrix}29 & 20 & -28\\[4pt]-28 & 35 & -4\\[4pt]20 & 20 & 35\end{pmatrix},
a condição Rv=v é equivalente a Av=45v, ou seja
(A-45I)v=0.
  • Depois de achar um vetor v do eixo, escolhemos um vetor w ortogonal a v. Como R é rotação, ele preserva normas, e a projeção de Rw sobre w dá o cosseno do ângulo: mais precisamente
\cos\theta=\frac{w\cdot Rw}{\|w\|^2},
pois \|Rw\|=\|w\| e (w\cdot Rw)=\|w\|\,\|Rw\|\cos\theta=\|w\|^2\cos\theta.]

Passo 3

Encontrando o eixo: calculemos A-45I:
A-45I=\begin{pmatrix}29-45 & 20 & -28\\[4pt]-28 & 35-45 & -4\\[4pt]20 & 20 & 35-45\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-16 & 20 & -28\\[4pt]-28 & -10 & -4\\[4pt]20 & 20 & -10\end{pmatrix}.
Precisamos resolver
\begin{pmatrix}-16 & 20 & -28\\[4pt]-28 & -10 & -4\\[4pt]20 & 20 & -10\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Das equações obtemos, escrevendo-as explicitamente:
-16x+20y-28z=0,\\[4pt] -28x-10y-4z=0,\\[4pt] 20x+20y-10z=0.
A terceira equação é simples: divida por 10,
2x+2y-z=0\quad\Rightarrow\quad z=2x+2y.
Substituindo z na primeira equação:
-16x+20y-28(2x+2y)=0 \Rightarrow -16x+20y-56x-56y=0,
-72x-36y=0 \Rightarrow 6x+3y=0 \Rightarrow 2x+y=0 \Rightarrow y=-2x.
Com y=-2x temos z=2x+2(-2x)= -2x. Logo um autovetor não nulo é
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]-2\end{pmatrix}
(qualquer múltiplo funciona). Esse é o eixo de rotação.]

Passo 4

Escolhendo uma direção ortogonal ao eixo: queremos w tal que v\cdot w=0. Tomemos
w=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Verificação do produto interno:
v\cdot w = 1\cdot 0 + (-2)\cdot 1 + (-2)\cdot(-1) = -2 + 2 = 0,
portanto w é ortogonal a v e serve para medir a rotação.]

Passo 5

Calcule Rw. Primeiro calculemos Aw:
Aw=\begin{pmatrix}29 & 20 & -28\\[4pt]-28 & 35 & -4\\[4pt]20 & 20 & 35\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}29\cdot 0 + 20\cdot 1 + (-28)\cdot(-1)\\[6pt]-28\cdot 0 + 35\cdot 1 + (-4)\cdot(-1)\\[6pt]20\cdot 0 + 20\cdot 1 + 35\cdot(-1)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}48\\[4pt]39\\[4pt]-15\end{pmatrix}.
Como R=\dfrac{1}{45}A, temos
Rw=\frac{1}{45}Aw=\frac{1}{45}\begin{pmatrix}48\\[4pt]39\\[4pt]-15\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \dfrac{48}{45}\\[6pt]\dfrac{39}{45}\\[6pt]\dfrac{-15}{45}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{16}{15}\\[4pt]\dfrac{13}{15}\\[4pt]-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcule o produto interno w\cdot Rw e \|w\|^2:
w\cdot Rw = 0\cdot \dfrac{16}{15} + 1\cdot \dfrac{13}{15} + (-1)\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{13}{15} + \dfrac{1}{3}.
Colocando em denominador comum 15:
w\cdot Rw = \dfrac{13}{15} + \dfrac{5}{15} = \dfrac{18}{15} = \dfrac{6}{5}.
E
\|w\|^2 = 0^2 + 1^2 + (-1)^2 = 2.
Portanto, pelo argumento da conservação de norma da rotação,
\cos\theta=\frac{w\cdot Rw}{\|w\|^2}=\frac{\tfrac{6}{5}}{2}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.

Passo 7

Conclusão: o cosseno do ângulo de rotação é \dfrac{3}{5}, que corresponde à alternativa (E).

Resposta

(E) \dfrac{3}{5}

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