Q13: Calcule o polinômio característico da matriz A abaixo:
A=\left[\begin{array}{rrrrrrrr} 1 & 1 & 0 & -7 & -3 & 7 & 5 & 5 \\\\ -36 & -11 & 0 & -2 & -4 & -3 & 2 & -1 \\\\ 3 & -7 & -5 & 1 & -2 & 6 & -3 & -7 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 6 \\\\ 0 & 0 & 0 & 5 & -2 & 1 & 6 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 5 & -25 & 8 & 4 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & -5 \end{array}\right]
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) p_{c}^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{3}(3-\lambda)^{2}(-2-\lambda)^{2}(-3-\lambda)
(B) p_{c}^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{2}(3-\lambda)^{2}(-2-\lambda)^{2}(-3-\lambda)^{2}
(C) p_{c}^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{3}(3-\lambda)^{3}(-2-\lambda)(-3-\lambda)
(D) p_{c}^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{3}(3-\lambda)^{3}(-2-\lambda)^{2}
(E) p_{c}^{A}(\lambda)=(4-\lambda)^{3}(5-\lambda)^{3}(2-\lambda)(-4-\lambda)
(F) p_{c}^{A}(\lambda)=(4-\lambda)^{3}(5-\lambda)^{2}(2-\lambda)^{2}(-4-\lambda)
(G) p_{c}^{A}(\lambda)=(4-\lambda)^{2}(5-\lambda)^{2}(2-\lambda)^{2}(-4-\lambda)^{2}

Passo 1

O enunciado fornece a matriz A de ordem 8:
A=\left[\begin{array}{rrrrrrrr} 1 & 1 & 0 & -7 & -3 & 7 & 5 & 5 \\\\ -36 & -11 & 0 & -2 & -4 & -3 & 2 & -1 \\\\ 3 & -7 & -5 & 1 & -2 & 6 & -3 & -7 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 6 \\\\ 0 & 0 & 0 & 5 & -2 & 1 & 6 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 5 & -25 & 8 & 4 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & -5 \end{array}\right]
O que é pedido: calcular o polinômio característico de A e, portanto, identificar qual das alternativas (A)–(G) corresponde a esse polinômio.
Informações relevantes dadas no enunciado que vamos usar:
  • A matriz A é 8\times8.
  • Observando linhas e colunas, há muitos zeros: as entradas de A nas linhas 4 a 8 e colunas 1 a 3 são todas zero; além disso, as linhas 7 e 8 têm zeros nas colunas 1 a 6.
  • O enunciado sugere: “explore a estrutura em blocos da matriz”.
A partir daqui começamos a resolver.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (sem executar cálculos ainda).
Observando a matriz, podemos particioná‑la em blocos conforme os índices das linhas/colunas:
  • blocos correspondentes aos índices 1\!-\!3, 4\!-\!6 e 7\!-\!8.
    Ao fazer essa partição vemos que a parte abaixo da diagonal principal, nos blocos correspondentes a colunas 1\!-\!3, é nula; e também o bloco correspondente às linhas 7\!-\!8 e colunas 4\!-\!6 é nulo. Ou seja, A é uma matriz em forma de bloco triangular superior com blocos diagonais
A_{11}\\ \text{(3×3)},\qquad A_{22}\\ \text{(3×3)},\qquad A_{33}\\ \text{(2×2)}.
Propriedade que vamos usar (importante): se uma matriz é blocosuperior triangular com blocos quadrados na diagonal, então o polinômio característico de A é o produto dos polinômios característicos desses blocos diagonais. Vou usar explicitamente essa propriedade e, em seguida, calcular os polinômios característicos de cada bloco diagonal.

Passo 3

Apresentando explicitamente os blocos diagonais (peguei-os diretamente da matriz dada).
Blocos diagonais, conforme partição 3+3+2:
A_{11}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] -36 & -11 & 0\\[4pt] 3 & -7 & -5 \end{pmatrix}, \qquad A_{22}=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\[4pt] 5 & -2 & 1\\[4pt] 5 & -25 & 8 \end{pmatrix}, \qquad A_{33}=\begin{pmatrix} 1 & 1\\[4pt] -9 & -5 \end{pmatrix}.
Vou calcular o polinômio característico de cada um: p_{A_{ii}}(\lambda)=\det(A_{ii}-\lambda I).]

Passo 4

Cálculo de p_{A_{33}}(\lambda) — caso simples 2×2.
Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix} a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
temos \det\big(\begin{pmatrix} a & b\\\ c & d\end{pmatrix}-\lambda I\big)=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc. Aplicando a A_{33},
p_{A_{33}}(\lambda)=\det\!\big(\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\\\ -9 & -5-\lambda\end{pmatrix}\big) =(1-\lambda)(-5-\lambda)-1\cdot(-9).
Faço as contas passo a passo:
(1-\lambda)(-5-\lambda)+9 = -5 -\lambda +5\lambda +\lambda^{2}+9 =\lambda^{2}+4\lambda+4.
Reconhecemos \lambda^{2}+4\lambda+4=(\lambda+2)^{2}. Logo
p_{A_{33}}(\lambda)=(\lambda+2)^{2}.
Isso significa que \lambda=-2 é autovalor com multiplicidade 2.

Passo 5

Cálculo de p_{A_{22}}(\lambda) — uso que a primeira linha tem duas entradas zero.
Escrevo A_{22}-\lambda I:
A_{22}-\lambda I=\begin{pmatrix} 3-\lambda & 0 & 0\\[4pt] 5 & -2-\lambda & 1\\[4pt] 5 & -25 & 8-\lambda \end{pmatrix}.
Como a primeira linha tem zeros nas colunas 2 e 3, o determinante fica simples por desenvolvimento pela primeira linha:
p_{A_{22}}(\lambda)=(3-\lambda)\det\begin{pmatrix}-2-\lambda & 1\\[4pt]-25 & 8-\lambda\end{pmatrix}.
Calculo o determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-2-\lambda & 1\\[4pt]-25 & 8-\lambda\end{pmatrix}=(-2-\lambda)(8-\lambda)-1\cdot(-25).
Faço a expansão:
(-2-\lambda)(8-\lambda)+25 = -16 +2\lambda -8\lambda +\lambda^{2} +25 =\lambda^{2}-6\lambda+9.
Reconhecemos \lambda^{2}-6\lambda+9=(\lambda-3)^{2}. Portanto
p_{A_{22}}(\lambda)=(3-\lambda)(\lambda-3)^{2}.
Podemos juntar os fatores: (3-\lambda)(\lambda-3)^{2}=-(\lambda-3)^3, mas o que importa para os autovalores é que \lambda=3 é autovalor com multiplicidade 3. Em fatorização conveniente:
p_{A_{22}}(\lambda)=(3-\lambda)(\lambda-3)^{2}.]

Passo 6

Cálculo de p_{A_{11}}(\lambda) — 3×3 com coluna 3 simples.
Escrevo A_{11}-\lambda I:
A_{11}-\lambda I=\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 0\\[4pt] -36 & -11-\lambda & 0\\[4pt] 3 & -7 & -5-\lambda \end{pmatrix}.
A coluna 3 tem entradas 0,0,-5-\lambda, então expando o determinante por essa coluna (ou reconhecimento direto):
p_{A_{11}}(\lambda)=(-5-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[4pt]-36 & -11-\lambda\end{pmatrix}.
Agora o determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[4pt]-36 & -11-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)(-11-\lambda)-1\cdot(-36).
Faço as contas:
(1-\lambda)(-11-\lambda)+36 = -11 -\lambda +11\lambda +\lambda^{2} +36 =\lambda^{2}+10\lambda+25.
Reconhecemos \lambda^{2}+10\lambda+25=(\lambda+5)^{2}. Logo
p_{A_{11}}(\lambda)=(-5-\lambda)(\lambda+5)^{2}.
Novamente, olhando os zeros vemos que \lambda=-5 é autovalor com multiplicidade 3 (porque ( -5-\lambda)(\lambda+5)^{2} equivale a -(\lambda+5)^3).]

Passo 7

Combinação final usando a propriedade de matriz bloco-triangular.
Como A é bloco-superior triangular com blocos diagonais A_{11},A_{22},A_{33}, temos
p_{A}(\lambda)=p_{A_{11}}(\lambda)\,p_{A_{22}}(\lambda)\,p_{A_{33}}(\lambda).
Substituindo os resultados já obtidos:
p_{A}(\lambda)=\big((-5-\lambda)(\lambda+5)^{2}\big)\cdot\big((3-\lambda)(\lambda-3)^{2}\big)\cdot\big((\lambda+2)^{2}\big).
Vamos organizar os fatores de forma semelhante às alternativas dadas. Note que
(\lambda+5)^{2}(-5-\lambda) = (-5-\lambda)^{3}\quad\text{(pois \(-5-\lambda = -(\lambda+5)\))},
(\lambda-3)^{2}(3-\lambda) = (3-\lambda)^{3}\quad\text{(pois \(3-\lambda = -(\lambda-3)\))},
e (\lambda+2)^{2}=(-2-\lambda)^{2} (pois -2-\lambda = -(\lambda+2), e o quadrado anula o sinal).
Portanto, multiplicando e reescrevendo com os sinais da forma das alternativas:
p_{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{3}(3-\lambda)^{3}(-2-\lambda)^{2}.

Passo 8

Interpretação: os autovalores (com multiplicidades) são \lambda=-5 com multiplicidade 3, \lambda=3 com multiplicidade 3, e \lambda=-2 com multiplicidade 2. Comparando com as alternativas, a que coincide com a expressão acima é a alternativa (D).

Resposta

(D)

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