O que é pedido: calcular o polinômio característico de A e, portanto, identificar qual das alternativas (A)–(G) corresponde a esse polinômio.
Informações relevantes dadas no enunciado que vamos usar:
A matriz A é 8\times8.
Observando linhas e colunas, há muitos zeros: as entradas de A nas linhas 4 a 8 e colunas 1 a 3 são todas zero; além disso, as linhas 7 e 8 têm zeros nas colunas 1 a 6.
O enunciado sugere: “explore a estrutura em blocos da matriz”.
A partir daqui começamos a resolver.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (sem executar cálculos ainda).
Observando a matriz, podemos particioná‑la em blocos conforme os índices das linhas/colunas:
blocos correspondentes aos índices 1\!-\!3, 4\!-\!6 e 7\!-\!8.
Ao fazer essa partição vemos que a parte abaixo da diagonal principal, nos blocos correspondentes a colunas 1\!-\!3, é nula; e também o bloco correspondente às linhas 7\!-\!8 e colunas 4\!-\!6 é nulo. Ou seja, A é uma matriz em forma de bloco triangular superior com blocos diagonais
Propriedade que vamos usar (importante): se uma matriz é blocosuperior triangular com blocos quadrados na diagonal, então o polinômio característico de A é o produto dos polinômios característicos desses blocos diagonais. Vou usar explicitamente essa propriedade e, em seguida, calcular os polinômios característicos de cada bloco diagonal.
Passo 3
Apresentando explicitamente os blocos diagonais (peguei-os diretamente da matriz dada).
Podemos juntar os fatores: (3-\lambda)(\lambda-3)^{2}=-(\lambda-3)^3, mas o que importa para os autovalores é que \lambda=3 é autovalor com multiplicidade 3. Em fatorização conveniente:
p_{A_{22}}(\lambda)=(3-\lambda)(\lambda-3)^{2}.]
Passo 6
Cálculo de p_{A_{11}}(\lambda) — 3×3 com coluna 3 simples.
Interpretação: os autovalores (com multiplicidades) são \lambda=-5 com multiplicidade 3, \lambda=3 com multiplicidade 3, e \lambda=-2 com multiplicidade 2. Comparando com as alternativas, a que coincide com a expressão acima é a alternativa (D).