Q13: Calcule o polinômio característico da matriz A abaixo:
A=\left[\begin{array}{rrrrrrrr} 2 & 0 & 0 & 1 & -1 & 5 & -7 & -6 \\\\ 5 & 2 & 1 & -1 & 4 & 4 & -1 & -1 \\\\ 3 & 0 & 2 & -7 & -7 & -2 & -4 & 7 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 7 & -7 & -7 \\\\ 0 & 0 & 0 & -25 & -9 & 3 & -5 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 10 & 2 \end{array}\right]
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) p_{c}^{A}(\lambda)=(2-\lambda)^{3}(-4-\lambda)^{3}(-3-\lambda)(4-\lambda)
(B) p_{c}^{A}(\lambda)=(5-\lambda)^{3}(3-\lambda)^{3}(-5-\lambda)(-2-\lambda)
(C) p_{c}^{A}(\lambda)=(5-\lambda)^{2}(3-\lambda)^{2}(-5-\lambda)^{2}(-2-\lambda)^{2}
(D) p_{c}^{A}(\lambda)=(5-\lambda)^{3}(3-\lambda)^{3}(-5-\lambda)^{2}
(E) p_{c}^{A}(\lambda)=(2-\lambda)^{3}(-4-\lambda)^{2}(-3-\lambda)^{2}(4-\lambda)
(F) p_{c}^{A}(\lambda)=(2-\lambda)^{3}(-4-\lambda)^{3}(-3-\lambda)^{2}
(G) p_{c}^{A}(\lambda)=(5-\lambda)^{3}(3-\lambda)^{2}(-5-\lambda)^{2}(-2-\lambda)
(H) p_{c}^{A}(\lambda)=(2-\lambda)^{2}(-4-\lambda)^{2}(-3-\lambda)^{2}(4-\lambda)^{2}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o polinômio característico da matriz A de ordem 8.
Informações relevantes dadas no enunciado (peguei tudo da matriz A fornecida):
A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 1 & -1 & 5 & -7 & -6 \\\\ 5 & 2 & 1 & -1 & 4 & 4 & -1 & -1 \\\\ 3 & 0 & 2 & -7 & -7 & -2 & -4 & 7 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 7 & -7 & -7 \\\\ 0 & 0 & 0 & -25 & -9 & 3 & -5 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 10 & 2 \end{pmatrix}
Pergunta explícita: qual é p_{c}^{A}(\lambda)=\det(A-\lambda I)? (há opções (A)–(H) para comparar).

Passo 2

Observação estrutural importante (vai facilitar muito a conta): a matriz A tem zeros em todo o bloco inferior-esquerdo de tamanho 5\times3. Ou seja, podemos escrever A como bloco superior-triangular
A=\begin{pmatrix}B & C\\[4pt] 0 & D\end{pmatrix},
onde B é 3\times3 (colunas 1 3, linhas 1 3) e D é 5\times5 (colunas 4 8, linhas 4 8). Vou usar essa estrutura.]

Passo 3

Fórmula (teoria usada): para uma matriz em bloco superior-triangular como acima vale
\det(A-\lambda I)=\det(B-\lambda I_3)\cdot\det(D-\lambda I_5).
Explico rápido: a matriz A-\lambda I também fica em bloco superior-triangular com os blocos diagonais B-\lambda I_3 e D-\lambda I_5, e o determinante de uma matriz triangular em blocos é o produto dos determinantes dos blocos diagonais. Então basta calcular os dois polinômios característicos menores.

Passo 4

Calcular \det(B-\lambda I_3). O bloco B (linhas/colunas 1 3) é
B=\begin{pmatrix}2&0&0\\[2pt]5&2&1\\[2pt]3&0&2\end{pmatrix}.
Logo
B-\lambda I_3=\begin{pmatrix}2-\lambda&0&0\\[2pt]5&2-\lambda&1\\[2pt]3&0&2-\lambda\end{pmatrix}.
Como a primeira linha tem zeros nas colunas 2 e 3, o determinante expande fácil:
\det(B-\lambda I_3)=(2-\lambda)\det\begin{pmatrix}2-\lambda&1\\[2pt]0&2-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante do 2\times2 é (2-\lambda)(2-\lambda)-1\cdot 0=(2-\lambda)^2. Portanto
\det(B-\lambda I_3)=(2-\lambda)\,(2-\lambda)^2=(2-\lambda)^3.
Interpretação: o autovalor \lambda=2 tem multiplicidade algébrica 3.]

Passo 5

Agora calcular \det(D-\lambda I_5). O bloco D (linhas/colunas 4 8) é
D=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 7 & -7 & -7\\[2pt] -25 & -9 & 3 & -5 & -3\\[2pt] 0 & 0 & -3 & 0 & 0\\[2pt] 0 & 0 & 5 & -1 & 1\\[2pt] 0 & 0 & 2 & 10 & 2 \end{pmatrix}.
Note que as linhas 6 8 (que viraram linhas 3 5 do bloco D) têm zeros nas duas primeiras colunas do bloco D. Assim D também é bloco superior-triangular, no formato
D=\begin{pmatrix}E & G\\[2pt]0 & F\end{pmatrix},
com E de ordem 2 (linhas/colunas 4,5) e F de ordem 3 (linhas/colunas 6,7,8). Portanto
\det(D-\lambda I_5)=\det(E-\lambda I_2)\cdot\det(F-\lambda I_3).]

Passo 6

Calcular \det(E-\lambda I_2). O bloco
E=\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]-25&-9\end{pmatrix}, \qquad E-\lambda I_2=\begin{pmatrix}1-\lambda&1\\[2pt]-25&-9-\lambda\end{pmatrix}.
Determinante:
\det(E-\lambda I_2)=(1-\lambda)(-9-\lambda)-1\cdot(-25).
Faço as contas devagar:
(1-\lambda)(-9-\lambda)=-9-\lambda+9\lambda+\lambda^2=\lambda^2+8\lambda-9.
Somando 25 (porque menos -25) resulta
\det(E-\lambda I_2)=\lambda^2+8\lambda+16=(\lambda+4)^2.
Portanto o autovalor \lambda=-4 tem multiplicidade 2 no bloco E.]

Passo 7

Calcular \det(F-\lambda I_3). O bloco
F=\begin{pmatrix}-3&0&0\\[2pt]5&-1&1\\[2pt]2&10&2\end{pmatrix}, \qquad F-\lambda I_3=\begin{pmatrix}-3-\lambda&0&0\\[2pt]5&-1-\lambda&1\\[2pt]2&10&2-\lambda\end{pmatrix}.
A primeira linha tem zeros nas colunas 2 e 3, então
\det(F-\lambda I_3)=(-3-\lambda)\det\begin{pmatrix}-1-\lambda&1\\[2pt]10&2-\lambda\end{pmatrix}.
Calcule o determinante 2\times2:
(-1-\lambda)(2-\lambda)-1\cdot 10.
Expansão:
(-1-\lambda)(2-\lambda)=\lambda^2-\lambda-2
(eu desenvolvi: (-1-\lambda)(2-\lambda)= -2 +\lambda -2\lambda +\lambda^2=\lambda^2-\lambda-2). Subtraindo 10
\lambda^2-\lambda-12=(\lambda-4)(\lambda+3).
Logo
\det(F-\lambda I_3)=(-3-\lambda)(\lambda-4)(\lambda+3).
Note que (-3-\lambda)=-(\lambda+3), então podemos reescrever
\det(F-\lambda I_3)=-(\lambda+3)^2(\lambda-4).
Interpretando: eigenvalor \lambda=-3 com multiplicidade 2 (aparecendo quadrado), e \lambda=4 com multiplicidade 1. Há um sinal negativo global nesta expressão; vamos tratar disso ao combinar fatores.]

Passo 8

Multiplicando os resultados para D:
\det(D-\lambda I_5)=\det(E-\lambda I_2)\cdot\det(F-\lambda I_3)=(\lambda+4)^2\cdot\bigl(-(\lambda+3)^2(\lambda-4)\bigr).
Ou seja
\det(D-\lambda I_5)=-\,(\lambda+4)^2(\lambda+3)^2(\lambda-4).

Passo 9

Agora voltar à matriz inteira:
\det(A-\lambda I_8)=\det(B-\lambda I_3)\cdot\det(D-\lambda I_5)=(2-\lambda)^3\cdot\Bigl(-(\lambda+4)^2(\lambda+3)^2(\lambda-4)\Bigr).
Trabalhando os sinais para comparar com as opções: observe que (\lambda+4)^2=(-4-\lambda)^2 (quadrado elimina sinal) e (\lambda+3)^2=(-3-\lambda)^2. Também o fator -1 em frente pode ser removido trocando (\lambda-4) por -(4-\lambda); assim os dois sinais se anulam. Fazendo essas substituições:
\det(A-\lambda I_8)=(2-\lambda)^3(-4-\lambda)^2(-3-\lambda)^2(4-\lambda).
Esse é o polinômio característico escrito no mesmo tipo de fatores das opções dadas.

Resposta

(E)

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