Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) p_{c}^{A}(\lambda)=(2-\lambda)^{3}(-4-\lambda)^{3}(-3-\lambda)(4-\lambda)
(B) p_{c}^{A}(\lambda)=(5-\lambda)^{3}(3-\lambda)^{3}(-5-\lambda)(-2-\lambda)
(C) p_{c}^{A}(\lambda)=(5-\lambda)^{2}(3-\lambda)^{2}(-5-\lambda)^{2}(-2-\lambda)^{2}
(D) p_{c}^{A}(\lambda)=(5-\lambda)^{3}(3-\lambda)^{3}(-5-\lambda)^{2}
(E) p_{c}^{A}(\lambda)=(2-\lambda)^{3}(-4-\lambda)^{2}(-3-\lambda)^{2}(4-\lambda)
(F) p_{c}^{A}(\lambda)=(2-\lambda)^{3}(-4-\lambda)^{3}(-3-\lambda)^{2}
(G) p_{c}^{A}(\lambda)=(5-\lambda)^{3}(3-\lambda)^{2}(-5-\lambda)^{2}(-2-\lambda)
(H) p_{c}^{A}(\lambda)=(2-\lambda)^{2}(-4-\lambda)^{2}(-3-\lambda)^{2}(4-\lambda)^{2}
Passo 1
O enunciado pede: calcular o polinômio característico da matriz A de ordem 8.
Informações relevantes dadas no enunciado (peguei tudo da matriz A fornecida):
Pergunta explícita: qual é p_{c}^{A}(\lambda)=\det(A-\lambda I)? (há opções (A)–(H) para comparar).
Passo 2
Observação estrutural importante (vai facilitar muito a conta): a matriz A tem zeros em todo o bloco inferior-esquerdo de tamanho 5\times3. Ou seja, podemos escrever A como bloco superior-triangular
A=\begin{pmatrix}B & C\\[4pt] 0 & D\end{pmatrix},
onde B é 3\times3 (colunas 1–3, linhas 1–3) e D é 5\times5 (colunas 4–8, linhas 4–8). Vou usar essa estrutura.]
Passo 3
Fórmula (teoria usada): para uma matriz em bloco superior-triangular como acima vale
Explico rápido: a matriz A-\lambda I também fica em bloco superior-triangular com os blocos diagonais B-\lambda I_3 e D-\lambda I_5, e o determinante de uma matriz triangular em blocos é o produto dos determinantes dos blocos diagonais. Então basta calcular os dois polinômios característicos menores.
Passo 4
Calcular \det(B-\lambda I_3). O bloco B (linhas/colunas 1–3) é
Note que as linhas 6–8 (que viraram linhas 3–5 do bloco D) têm zeros nas duas primeiras colunas do bloco D. Assim D também é bloco superior-triangular, no formato
D=\begin{pmatrix}E & G\\[2pt]0 & F\end{pmatrix},
com E de ordem 2 (linhas/colunas 4,5) e F de ordem 3 (linhas/colunas 6,7,8). Portanto
Note que (-3-\lambda)=-(\lambda+3), então podemos reescrever
\det(F-\lambda I_3)=-(\lambda+3)^2(\lambda-4).
Interpretando: eigenvalor \lambda=-3 com multiplicidade 2 (aparecendo quadrado), e \lambda=4 com multiplicidade 1. Há um sinal negativo global nesta expressão; vamos tratar disso ao combinar fatores.]
Trabalhando os sinais para comparar com as opções: observe que (\lambda+4)^2=(-4-\lambda)^2 (quadrado elimina sinal) e (\lambda+3)^2=(-3-\lambda)^2. Também o fator -1 em frente pode ser removido trocando (\lambda-4) por -(4-\lambda); assim os dois sinais se anulam. Fazendo essas substituições: