Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 4. Considere as afirmativas abaixo:
I - Nem todo conjunto gerador de
com 4 vetores é uma base de
.
II - Todo conjunto gerador de
possui no mínimo 4 vetores. III - Todo subconjunto de
com menos do que 4 vetores é LI.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas I e II são verdadeiras.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Apenas II é verdadeira.
(G) Apenas I e III são verdadeiras.
(H) Todas são falsas.
I - Nem todo conjunto gerador de
II - Todo conjunto gerador de
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas I e II são verdadeiras.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Apenas II é verdadeira.
(G) Apenas I e III são verdadeiras.
(H) Todas são falsas.
Passo 1
O enunciado fala de um espaço vetorial
com
e apresenta três afirmações sobre conjuntos geradores e independência linear. Vamos verificar cada afirmação usando propriedades de espaços vetoriais de dimensão finita.
Passo 2
Analisando a afirmação I: “Nem todo conjunto gerador de
com 4 vetores é uma base de
.”
Em um espaço de dimensão , todo conjunto gerador com exatamente
vetores é automaticamente uma base, pois não pode haver dependência sem exceder o número de vetores.
Logo, I é falsa.
Em um espaço de dimensão
Logo, I é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmação II: “Todo conjunto gerador de
possui no mínimo 4 vetores.”
Em geral, qualquer conjunto gerador de um espaço de dimensão precisa ter pelo menos
elementos, caso contrário não alcançaria todas as direções do espaço.
Aqui, , então todo conjunto gerador tem no mínimo 4 vetores.
Logo, II é verdadeira.
Em geral, qualquer conjunto gerador de um espaço de dimensão
Aqui,
Logo, II é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmação III: “Todo subconjunto de
com menos do que 4 vetores é LI.”
Não há garantia de que um conjunto com menos de vetores seja sempre linearmente independente; por exemplo, poderia conter vetores repetidos ou múltiplos.
Logo, III é falsa.
Não há garantia de que um conjunto com menos de
Logo, III é falsa.
Resposta
(F)