Q16: Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se A é LI, então S pode ser LD.
II - Se S é LI, então A pode ser LD.
III - Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} não são coplanares, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Todas são falsas.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas II é verdadeira.
(H) Apenas I e II são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá um conjunto S=\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\}\subset\mathbb R^3 e define três subconjuntos de dois vetores: A=\{\vec v_1,\vec v_2\}, B=\{\vec v_1,\vec v_3\} e C=\{\vec v_2,\vec v_3\}.
Precisamos decidir se as afirmações I, II e III sobre dependência e independência linear desses conjuntos são verdadeiras ou falsas.

Passo 2

Analisando I – “Se A é LI, então S pode ser LD.”
Se \vec v_1 e \vec v_2 são LI, ainda assim podemos escolher \vec v_3=\vec v_1+\vec v_2. Nesse caso A é LI mas \vec v_3 fica na combinação de \vec v_1 e \vec v_2, fazendo S LD.
Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Analisando II – “Se S é LI, então A pode ser LD.”
Uma propriedade de conjuntos LI é que todos os seus subconjuntos também são LI. Logo, se \{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\} é LI, não há como \{\vec v_1,\vec v_2\} ser LD.
Portanto, II é falsa.

Passo 4

Analisando III – “Se \vec v_1,\vec v_2,\vec v_3 não são coplanares, então S é uma base de \mathbb R^3.”
Não serem coplanares significa que eles geram todo o espaço \mathbb R^3 e são LI. Como há exatamente três vetores em \mathbb R^3, isso basta para serem uma base.
Logo, III é verdadeira.

Passo 5

Concluindo, apenas as afirmações I e III são verdadeiras.

Resposta

(D) Apenas I e III são verdadeiras.

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