Q16: Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é LI, então
pode ser LD.
II - Se
é LI, então
pode ser LD.
III - Se
não são coplanares, então
é uma base de
。
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Todas são falsas.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas II é verdadeira.
(H) Apenas I e II são verdadeiras.
I - Se
II - Se
III - Se
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Todas são falsas.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas II é verdadeira.
(H) Apenas I e II são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá um conjunto
e define três subconjuntos de dois vetores:
,
e
.
Precisamos decidir se as afirmações I, II e III sobre dependência e independência linear desses conjuntos são verdadeiras ou falsas.
Precisamos decidir se as afirmações I, II e III sobre dependência e independência linear desses conjuntos são verdadeiras ou falsas.
Passo 2
Analisando I – “Se
é LI, então
pode ser LD.”
Se e
são LI, ainda assim podemos escolher
. Nesse caso
é LI mas
fica na combinação de
e
, fazendo
LD.
Logo, I é verdadeira.
Se
Logo, I é verdadeira.
Passo 3
Analisando II – “Se
é LI, então
pode ser LD.”
Uma propriedade de conjuntos LI é que todos os seus subconjuntos também são LI. Logo, se é LI, não há como
ser LD.
Portanto, II é falsa.
Uma propriedade de conjuntos LI é que todos os seus subconjuntos também são LI. Logo, se
Portanto, II é falsa.
Passo 4
Analisando III – “Se
não são coplanares, então
é uma base de
.”
Não serem coplanares significa que eles geram todo o espaço e são LI. Como há exatamente três vetores em
, isso basta para serem uma base.
Logo, III é verdadeira.
Não serem coplanares significa que eles geram todo o espaço
Logo, III é verdadeira.
Passo 5
Concluindo, apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
Resposta
(D) Apenas I e III são verdadeiras.