Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 5. Considere as afirmativas abaixo:
I. Nenhum subconjunto de V com 6 vetores é uma base de V.
II. Existe um conjunto gerador de V com 5 vetores que é LD.
III. Todo subconjunto LI de V possui no máximo 5 vetores.
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só I e II são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Foi dado: um espaço vetorial V com \dim(V)=5.
  • São apresentadas três afirmativas:
    I. Nenhum subconjunto de V com 6 vetores é uma base de V.
    II. Existe um conjunto gerador de V com 5 vetores que é linearmente dependente.
    III. Todo subconjunto linearmente independente de V possui no máximo 5 vetores.
  • O que se pede: determinar quais das afirmativas I, II e III são verdadeiras, escolhendo a alternativa correta entre as opções dadas.

Passo 2

Primeiro vou explicar os conceitos básicos necessários (devagar e com calma).
  • Definição de base: uma base de V é um conjunto de vetores que é (a) linearmente independente (LI) e (b) gera V (ou seja, seu span é todo V).
    Então “ser base” = "ser LI e gerar V".
  • Definição de dimensão: \dim(V)=5 significa que todo base de V tem exatamente 5 vetores. Em particular, o número de vetores de qualquer base é 5.
Essas duas ideias serão usadas o tempo todo: bases têm exatamente 5 vetores; LI e gerar são as duas propriedades que definem base.

Passo 3

Vou mostrar por que qualquer conjunto com mais de 5 vetores é necessariamente linearmente dependente (resultado fundamental que uso para I e III).
Enunciado do fato: em um espaço vetorial de dimensão n qualquer conjunto com mais de n vetores é linearmente dependente.
Explicação intuitiva e prova simples: pegue uma base de V com 5 vetores (existe por definição de dimensão). Qualquer vetor de V pode ser escrito como combinação linear desses 5 vetores-base. Logo qualquer conjunto de 6 vetores em V corresponde a 6 vetores no espaço das coordenadas em relação a essa base — são 6 colunas em uma matriz com 5 linhas. Uma família de 6 vetores em \mathbb{R}^5 (ou no espaço de coordenadas com 5 componentes) é sempre linearmente dependente, porque há mais colunas (6) do que linhas (5): o sistema homogêneo que combina essas colunas tem mais incógnitas do que equações, então existe solução não trivial. Em linguagem menos técnica: não dá para ter 6 vetores LI em um espaço que tem apenas 5 “graus de liberdade”. Portanto qualquer conjunto com 6 vetores é LD.
Aplicação imediata: isso mostra já que a afirmativa I tem fundamento — veremos em detalhe no próximo passo.

Passo 4

Analisando a afirmativa I: “Nenhum subconjunto de V com 6 vetores é uma base de V.”
  • Uma base precisa ser LI. Pelo Passo 3, qualquer conjunto com 6 vetores em V é linearmente dependente. Logo nenhum conjunto com 6 vetores pode ser LI, portanto nenhum pode ser base.
    Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.

Passo 5

Analisando a afirmativa III: “Todo subconjunto LI de V possui no máximo 5 vetores.”
  • Pelo Passo 3 já vimos que conjuntos com mais de 5 vetores são LD. Isso é exatamente a negação de serem LI. Portanto não há subconjunto LI com mais de 5 vetores.
    Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.
(Resumo: máximo de vetores LI em V é a dimensão, aqui 5.)

Passo 6

Analisando a afirmativa II: “Existe um conjunto gerador de V com 5 vetores que é LD.”
Vou mostrar que isso não pode acontecer.
Argumento direto e intuitivo: suponha, por absurdo, que exista um conjunto gerador S=\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\} de V que seja linearmente dependente. Se S é LD, existe alguma relação linear não trivial entre os vetores; isto significa que pelo menos um dos vetores é combinação linear dos outros. Sem perda de generalidade, digamos que v_5 é combinação dos primeiros quatro. Então o span dos quatro primeiros já contém v_5, e portanto
\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\}=V.
Isto mostra que 4 vetores geram V. Mas isso contradiz o fato de que a dimensão de V é 5: qualquer conjunto gerador tem pelo menos 5 vetores (porque uma base tem 5 e um gerador não pode ter menos do que o número de vetores de uma base). Logo nossa suposição leva a uma contradição. Portanto não existe um conjunto gerador de V com 5 vetores que seja LD.
Conclusão: a afirmativa II é falsa.

Passo 7

Recapitulando os resultados obtidos:
  • I é verdadeira (conjunto com 6 vetores não pode ser base).
  • II é falsa (um conjunto gerador com 5 vetores deve ser LI, não LD).
  • III é verdadeira (qualquer conjunto LI tem no máximo 5 vetores).
Portanto as afirmativas I e III são verdadeiras e II é falsa.

Resposta

(C) Só I e III são verdadeiras.

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