Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 5. Considere as afirmativas abaixo:
I. Nenhum subconjunto de
com 6 vetores é uma base de
.
II. Existe um conjunto gerador de
com 5 vetores que é LD.
III. Todo subconjunto LI de
possui no máximo 5 vetores.
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só I e II são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.
I. Nenhum subconjunto de
II. Existe um conjunto gerador de
III. Todo subconjunto LI de
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só I e II são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Foi dado: um espaço vetorial
com . - São apresentadas três afirmativas:
I. Nenhum subconjunto decom 6 vetores é uma base de .
II. Existe um conjunto gerador decom 5 vetores que é linearmente dependente.
III. Todo subconjunto linearmente independente depossui no máximo 5 vetores. - O que se pede: determinar quais das afirmativas I, II e III são verdadeiras, escolhendo a alternativa correta entre as opções dadas.
Passo 2
Primeiro vou explicar os conceitos básicos necessários (devagar e com calma).
-
Definição de base: uma base de
é um conjunto de vetores que é (a) linearmente independente (LI) e (b) gera (ou seja, seu span é todo ).
Então “ser base” = "ser LI e gerar". -
Definição de dimensão:
significa que todo base de tem exatamente 5 vetores. Em particular, o número de vetores de qualquer base é 5.
Essas duas ideias serão usadas o tempo todo: bases têm exatamente 5 vetores; LI e gerar são as duas propriedades que definem base.
Passo 3
Vou mostrar por que qualquer conjunto com mais de 5 vetores é necessariamente linearmente dependente (resultado fundamental que uso para I e III).
Enunciado do fato: em um espaço vetorial de dimensão
qualquer conjunto com mais de
vetores é linearmente dependente.
Explicação intuitiva e prova simples: pegue uma base de
com 5 vetores (existe por definição de dimensão). Qualquer vetor de
pode ser escrito como combinação linear desses 5 vetores-base. Logo qualquer conjunto de 6 vetores em
corresponde a 6 vetores no espaço das coordenadas em relação a essa base — são 6 colunas em uma matriz com 5 linhas. Uma família de 6 vetores em
(ou no espaço de coordenadas com 5 componentes) é sempre linearmente dependente, porque há mais colunas (6) do que linhas (5): o sistema homogêneo que combina essas colunas tem mais incógnitas do que equações, então existe solução não trivial. Em linguagem menos técnica: não dá para ter 6 vetores LI em um espaço que tem apenas 5 “graus de liberdade”. Portanto qualquer conjunto com 6 vetores é LD.
Aplicação imediata: isso mostra já que a afirmativa I tem fundamento — veremos em detalhe no próximo passo.
Passo 4
Analisando a afirmativa I: “Nenhum subconjunto de
com 6 vetores é uma base de
.”
- Uma base precisa ser LI. Pelo Passo 3, qualquer conjunto com 6 vetores em
é linearmente dependente. Logo nenhum conjunto com 6 vetores pode ser LI, portanto nenhum pode ser base.
Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
Passo 5
Analisando a afirmativa III: “Todo subconjunto LI de
possui no máximo 5 vetores.”
- Pelo Passo 3 já vimos que conjuntos com mais de 5 vetores são LD. Isso é exatamente a negação de serem LI. Portanto não há subconjunto LI com mais de 5 vetores.
Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.
(Resumo: máximo de vetores LI em
é a dimensão, aqui 5.)
Passo 6
Analisando a afirmativa II: “Existe um conjunto gerador de
com 5 vetores que é LD.”
Vou mostrar que isso não pode acontecer.
Argumento direto e intuitivo: suponha, por absurdo, que exista um conjunto gerador
de
que seja linearmente dependente. Se
é LD, existe alguma relação linear não trivial entre os vetores; isto significa que pelo menos um dos vetores é combinação linear dos outros. Sem perda de generalidade, digamos que
é combinação dos primeiros quatro. Então o span dos quatro primeiros já contém
, e portanto
Isto mostra que 4 vetores geram
. Mas isso contradiz o fato de que a dimensão de
é 5: qualquer conjunto gerador tem pelo menos 5 vetores (porque uma base tem 5 e um gerador não pode ter menos do que o número de vetores de uma base). Logo nossa suposição leva a uma contradição. Portanto não existe um conjunto gerador de
com 5 vetores que seja LD.
Conclusão: a afirmativa II é falsa.
Passo 7
Recapitulando os resultados obtidos:
- I é verdadeira (conjunto com 6 vetores não pode ser base).
- II é falsa (um conjunto gerador com 5 vetores deve ser LI, não LD).
- III é verdadeira (qualquer conjunto LI tem no máximo 5 vetores).
Portanto as afirmativas I e III são verdadeiras e II é falsa.
Resposta
(C) Só I e III são verdadeiras.