Há quatro igualdades lineares relacionando essas variáveis, conforme listadas acima.]
Passo 2
Estratégia e ideia principal (explicada de forma didática):
Espaços definidos por igualdades lineares homogêneas formam subespaços lineares de \mathbb{R}^{13}.
Se tivermos k equações lineares independentes, cada uma reduz, em geral, a liberdade em uma dimensão, então a dimensão do subespaço é 13-k.
Portanto precisamos descobrir quantas dessas quatro equações são linearmente independentes (ou seja, não são combinações lineares umas das outras). Vou mostrar passo a passo como verificar isso.
Pequena aula sobre independência de equações:
Três equações são independentes quando nenhuma delas pode ser obtida somando ou multiplicando as outras. Se uma equação for combinação linear das outras, ela é redundante e não diminui mais a dimensão.
Exemplo simples: em \mathbb{R}^3, as equações x+y=0 e 2x+2y=0 são dependentes (a segunda é 2 vezes a primeira), portanto só impõem uma restrição efetiva.
Passo 3
Escrever as igualdades como equações lineares homogêneas (cada uma na forma «algo igual a zero»), para ficar claro o sistema:
Cada linha acima é uma equação linear em \mathbb{R}^{13}.]
Passo 4
Verificar dependência entre as equações (mostrar que alguma é combinação linear das outras):
Observe as duas primeiras equações: x_{11}-x_{13}=0 e x_{9}-x_{7}=0.
Subtraindo a segunda da primeira (isto é, fazendo (x_{11}-x_{13})-(x_{9}-x_{7})) obtemos
x_{11}-x_{13}-x_{9}+x_{7}=0,
que é exatamente a quarta equação reescrita. Portanto a quarta equação é combinação linear das primeiras duas (mais precisamente, é a primeira menos a segunda).
Conclusão: a quarta equação é redundante se já temos a primeira e a segunda.
Passo 5
Contagem das equações independentes:
Das quatro equações originais, a quarta é dependente das duas primeiras.
As três equações restantes são:x_{11}-x_{13}=0,\qquad x_{9}-x_{7}=0,\qquad x_{8}-x_{4}=0.
Não há relação óbvia que torne alguma dessas três combinação linear das outras duas (cada uma envolve pares de variáveis distintos), então elas são independentes.
Logo existem exatamente 3 restrições lineares independentes.
Passo 6
Conclusão sobre a dimensão:
Em \mathbb{R}^{13}, com 3 equações lineares independentes, a dimensão do espaço solução é
13-3=10.
Interpretação prática/parametrização rápida (para ganhar intuição): pode escolher livremente 10 coordenadas (por exemplo todos exceto x_{8},x_{9},x_{11}) e determinar x_{8}=x_{4}, x_{9}=x_{7}, x_{11}=x_{13}. Isso mostra que há exatamente 10 graus de liberdade.