Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{13}\right) \in \mathbb{R}^{13} tais que:
\left\{\begin{aligned} x_{11} & =x_{13} \\\ x_{9} & =x_{7} \\\ x_{8} & =x_{4} \\\ x_{11}-x_{9} & =x_{13}-x_{7} \end{aligned}\right.
A dimensão de S é:
(A) 3
(B) 12
(C) 9
(D) 4
(E) 11
(F) 13
(G) 2
(H) 10

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S dos vetores \left(x_{1},\dots,x_{13}\right)\in\mathbb{R}^{13} que satisfazem as quatro igualdades:
\left\{\begin{aligned} x_{11} &= x_{13},\\[4pt] x_{9} &= x_{7},\\[4pt] x_{8} &= x_{4},\\[4pt] x_{11}-x_{9} &= x_{13}-x_{7}. \end{aligned}\right.
A pergunta é: qual é a dimensão de S?
Informações relevantes dadas:
  • Existem 13 variáveis: x_{1},x_{2},\dots,x_{13}.
  • Há quatro igualdades lineares relacionando essas variáveis, conforme listadas acima.]

Passo 2

Estratégia e ideia principal (explicada de forma didática):
  • Espaços definidos por igualdades lineares homogêneas formam subespaços lineares de \mathbb{R}^{13}.
  • Se tivermos k equações lineares independentes, cada uma reduz, em geral, a liberdade em uma dimensão, então a dimensão do subespaço é 13-k.
  • Portanto precisamos descobrir quantas dessas quatro equações são linearmente independentes (ou seja, não são combinações lineares umas das outras). Vou mostrar passo a passo como verificar isso.
Pequena aula sobre independência de equações:
  • Três equações são independentes quando nenhuma delas pode ser obtida somando ou multiplicando as outras. Se uma equação for combinação linear das outras, ela é redundante e não diminui mais a dimensão.
  • Exemplo simples: em \mathbb{R}^3, as equações x+y=0 e 2x+2y=0 são dependentes (a segunda é 2 vezes a primeira), portanto só impõem uma restrição efetiva.

Passo 3

Escrever as igualdades como equações lineares homogêneas (cada uma na forma «algo igual a zero»), para ficar claro o sistema:
\begin{aligned} x_{11}-x_{13} &= 0,\\[4pt] x_{9}-x_{7} &= 0,\\[4pt] x_{8}-x_{4} &= 0,\\[4pt] x_{11}-x_{9}-x_{13}+x_{7} &= 0. \end{aligned}
Cada linha acima é uma equação linear em \mathbb{R}^{13}.]

Passo 4

Verificar dependência entre as equações (mostrar que alguma é combinação linear das outras):
  • Observe as duas primeiras equações: x_{11}-x_{13}=0 e x_{9}-x_{7}=0.
  • Subtraindo a segunda da primeira (isto é, fazendo (x_{11}-x_{13})-(x_{9}-x_{7})) obtemos
x_{11}-x_{13}-x_{9}+x_{7}=0,
que é exatamente a quarta equação reescrita. Portanto a quarta equação é combinação linear das primeiras duas (mais precisamente, é a primeira menos a segunda).
  • Conclusão: a quarta equação é redundante se já temos a primeira e a segunda.

Passo 5

Contagem das equações independentes:
  • Das quatro equações originais, a quarta é dependente das duas primeiras.
  • As três equações restantes são: x_{11}-x_{13}=0,\qquad x_{9}-x_{7}=0,\qquad x_{8}-x_{4}=0.
  • Não há relação óbvia que torne alguma dessas três combinação linear das outras duas (cada uma envolve pares de variáveis distintos), então elas são independentes.
  • Logo existem exatamente 3 restrições lineares independentes.

Passo 6

Conclusão sobre a dimensão:
  • Em \mathbb{R}^{13}, com 3 equações lineares independentes, a dimensão do espaço solução é
13-3=10.
Interpretação prática/parametrização rápida (para ganhar intuição): pode escolher livremente 10 coordenadas (por exemplo todos exceto x_{8},x_{9},x_{11}) e determinar x_{8}=x_{4}, x_{9}=x_{7}, x_{11}=x_{13}. Isso mostra que há exatamente 10 graus de liberdade.

Resposta

10 (alternativa H)

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