Q13: Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -2 \\\\ 3 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 4 \\\\ -1 \\\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 6 \\\\ 1 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 6 \\\\ 6 \\\\ -3\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço gerado (span) por quatro vetores em \mathbb{R}^{4}. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
  • Vetores fornecidos: v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_{2}=\begin{pmatrix}-1\\\ 4\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix},\quad v_{3}=\begin{pmatrix}-1\\\ 6\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix},\quad v_{4}=\begin{pmatrix}0\\\ 6\\\ 6\\\ -3\end{pmatrix}.
  • Pergunta: determinar a dimensão do espaço \operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\}.
    Em termos práticos: quantos desses vetores são linearmente independentes? Essa quantidade é a dimensão do span.
Informações relevantes que vamos usar (sem resolver ainda):
  • A dimensão do span é igual ao posto (rank) do conjunto de vetores.
  • Podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e aplicar eliminação de Gauss para achar o número de colunas linearmente independentes (número de pivôs).

Passo 2

Vou montar a matriz A cujas colunas são os vetores v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}. Isso organiza os dados para aplicar eliminação:
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 0\\[4pt] -2 & 4 & 6 & 6\\[4pt] 3 & -1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -3 \end{pmatrix}.
Explicando por que isso é útil: uma coluna é combinação linear das outras se e só se as colunas não forem linearmente independentes; ao reduzir A à forma escalonada (row-echelon), o número de linhas não-nulas (ou número de pivôs) dá o posto de A, que é exatamente a dimensão do span dos vetores-coluna.]

Passo 3

Começo a eliminação de Gauss para colocar a matriz em forma escalonada. Primeiro uso o elemento a_{11}=1 (linha 1, coluna 1) como pivô e elimino abaixo dele.
Matriz inicial:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 0\\[4pt] -2 & 4 & 6 & 6\\[4pt] 3 & -1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -3 \end{pmatrix}
Operações:
  • R_{2}\leftarrow R_{2}+2R_{1} para zerar o elemento na posição a_{21}.
  • R_{3}\leftarrow R_{3}-3R_{1} para zerar o elemento na posição a_{31}.
  • R_{4} já tem a_{41}=0, então permanece.
Calculemos cada linha:
  • R_{2}+2R_{1} = (-2)+2\cdot1=0 na coluna 1; coluna 2: 4+2(-1)=2; coluna 3: 6+2(-1)=4; coluna 4: 6+2\cdot0=6. Logo R_{2}=[0\\\ 2\\\ 4\\\ 6].
  • R_{3}-3R_{1} = 3-3\cdot1=0 na coluna 1; coluna 2: -1-3(-1)=2; coluna 3: 1-3(-1)=4; coluna 4: 6-3\cdot0=6. Logo R_{3}=[0\\\ 2\\\ 4\\\ 6].
  • R_{4}=[0\\\ -1\\\ -2\\\ -3].
Matriz após essas operações:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 4 & 6\\[4pt] 0 & 2 & 4 & 6\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -3 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora foco na segunda coluna para encontrar o próximo pivô. A linha R_{2} tem 2 na coluna 2, então uso esse como pivô. Para simplificar os cálculos, posso dividir R_{2} por 2 (isso não altera a independência das linhas):
  • R_{2}\leftarrow \tfrac{1}{2}R_{2} R_{2}=[0\\\ 1\\\ 2\\\ 3].
Matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 2 & 4 & 6\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -3 \end{pmatrix}.
Agora elimino os elementos na coluna 2 abaixo (e acima, se eu quiser forma reduzida). Primeiro abaixo:
  • R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{2}: isso torna R_{3}=[0\\\ 0\\\ 0\\\ 0] porque R_{3}-2R_{2}=[0,\\\ 2-2\cdot1,\\\ 4-2\cdot2,\\\ 6-2\cdot3]=[0,0,0,0].
  • R_{4}\leftarrow R_{4}+R_{2}: isso torna R_{4}=[0,\\\ -1+1,\\\ -2+2,\\\ -3+3]=[0,0,0,0].
Também posso zerar acima (opcional para contar pivôs), faço R_{1}\leftarrow R_{1}+R_{2} para limpar o -1 em a_{12}:
  • R_{1}+R_{2}=[1,\\\ -1+1,\\\ -1+2,\\\ 0+3]=[1,0,1,3].
Matriz agora:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Interpretação do resultado da eliminação: a forma escalonada mostra exatamente duas linhas não-nulas ( R_{1} e R_{2}). Isso significa que há dois pivôs (um na coluna 1 e outro na coluna 2) — portanto o posto (rank) da matriz A é 2.
Explicando de modo didático:
  • Cada pivô corresponde a uma coluna linearmente independente (ou, equivalentemente, a um vetor do conjunto que não pode ser escrito como combinação linear dos anteriores).
  • Como encontramos apenas dois pivôs, apenas duas colunas (vetores) são linearmente independentes; as demais colunas podem ser escritas como combinações das primeiras duas.
Um jeito rápido de ver dependências a partir da forma escalonada:
  • A terceira e a quarta colunas não têm pivôs correspondentes, logo elas são combinações lineares das colunas-pivô (coluna 1 e coluna 2). Não preciso calcular explicitamente essas combinações para saber a dimensão do span.

Passo 6

Conclusão final com reforço motivacional: a dimensão do subespaço gerado pelos quatro vetores é o número de vetores linearmente independentes, que calculamos ser 2. Bom trabalho — identificar pivôs com eliminação é uma técnica que vale a pena praticar; fica mais rápido com o tempo!

Resposta

(C) 2

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