Pergunta: determinar a dimensão do espaço \operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\}.
Em termos práticos: quantos desses vetores são linearmente independentes? Essa quantidade é a dimensão do span.
Informações relevantes que vamos usar (sem resolver ainda):
A dimensão do span é igual ao posto (rank) do conjunto de vetores.
Podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e aplicar eliminação de Gauss para achar o número de colunas linearmente independentes (número de pivôs).
Passo 2
Vou montar a matriz A cujas colunas são os vetores v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}. Isso organiza os dados para aplicar eliminação:
Explicando por que isso é útil: uma coluna é combinação linear das outras se e só se as colunas não forem linearmente independentes; ao reduzir A à forma escalonada (row-echelon), o número de linhas não-nulas (ou número de pivôs) dá o posto de A, que é exatamente a dimensão do span dos vetores-coluna.]
Passo 3
Começo a eliminação de Gauss para colocar a matriz em forma escalonada. Primeiro uso o elemento a_{11}=1 (linha 1, coluna 1) como pivô e elimino abaixo dele.
Agora foco na segunda coluna para encontrar o próximo pivô. A linha R_{2} tem 2 na coluna 2, então uso esse como pivô. Para simplificar os cálculos, posso dividir R_{2} por 2 (isso não altera a independência das linhas):
R_{2}\leftarrow \tfrac{1}{2}R_{2} dá R_{2}=[0\\\ 1\\\ 2\\\ 3].
Interpretação do resultado da eliminação: a forma escalonada mostra exatamente duas linhas não-nulas (R_{1} e R_{2}). Isso significa que há dois pivôs (um na coluna 1 e outro na coluna 2) — portanto o posto (rank) da matriz A é 2.
Explicando de modo didático:
Cada pivô corresponde a uma coluna linearmente independente (ou, equivalentemente, a um vetor do conjunto que não pode ser escrito como combinação linear dos anteriores).
Como encontramos apenas dois pivôs, apenas duas colunas (vetores) são linearmente independentes; as demais colunas podem ser escritas como combinações das primeiras duas.
Um jeito rápido de ver dependências a partir da forma escalonada:
A terceira e a quarta colunas não têm pivôs correspondentes, logo elas são combinações lineares das colunas-pivô (coluna 1 e coluna 2). Não preciso calcular explicitamente essas combinações para saber a dimensão do span.
Passo 6
Conclusão final com reforço motivacional: a dimensão do subespaço gerado pelos quatro vetores é o número de vetores linearmente independentes, que calculamos ser 2. Bom trabalho — identificar pivôs com eliminação é uma técnica que vale a pena praticar; fica mais rápido com o tempo!