Q15: Seja
e
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por
as coordenadas de
com relação à base
, calcule o valor de
.
(A) 4
(B) 2
(C) -4
(D) -2
(E) 3
(F) -1
(G) -3
(H) 1
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por
(A) 4
(B) 2
(C) -4
(D) -2
(E) 3
(F) -1
(G) -3
(H) 1
Passo 1
O enunciado dá:
- O polinômio
. - A base
do espaço dos polinômios de grau até .
Pede-se: nas coordenadas, calcular o valor de .
Passo 2
O que significa escrever
? Significa que existe uma combinação linear dos vetores da base que reproduz
. Escrevendo isso:
Aqui
são números reais desconhecidos que queremos encontrar. Vou agora igualar os coeficientes dos termos semelhantes (
,
,
) para obter um sistema linear.
Passo 3
Expandindo a soma do lado esquerdo e juntando coeficientes, obtemos um sistema para os coeficientes constantes, de
e de
:
constante:
constante:
coeficiente de
:
coeficiente de
:
Passo 4
Agora vamos eliminar
para obter um sistema só em
e
. Uma maneira simples é usar combinações lineares:
Multiplicando a primeira equação por temos
Multiplicando a primeira equação por
Subtraindo a terceira equação
dessa última, obtemos:
Calculando os termos:
Passo 5
Outra eliminação: subtrair a primeira equação da segunda:
Isso dá:
Agora temos o sistema em
:
Passo 6
Resolvendo esse sistema: multiplica-se a primeira equação por
e subtrai-se a segunda:
subtraindo
resulta em
Passo 7
Se quiser confirmar (não exigido, mas bom para checar): com
, da equação
temos
E pela primeira equação
:
Verificação rápida nas outras equações confirma que
satisfaz todo o sistema.
Resposta
E)