Q15: Seja p(x)=-12-9 x-39 x^{2} e
\beta=\left\{3+3 x+9 x^{2}, \quad 1+3 x-x^{2}, \quad 1+4 x-2 x^{2}\right\}
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) 4
(B) 2
(C) -4
(D) -2
(E) 3
(F) -1
(G) -3
(H) 1

Passo 1

O enunciado dá:
  • O polinômio \,p(x)=-12-9x-39x^{2}.
  • A base \beta=\{\,3+3x+9x^{2},\;1+3x-x^{2},\;1+4x-2x^{2}\,\} do espaço dos polinômios de grau até 2.
    Pede-se: nas coordenadas [p]_{\beta}=(a,b,c), calcular o valor de c.

Passo 2

O que significa escrever [p]_{\beta}=(a,b,c)? Significa que existe uma combinação linear dos vetores da base que reproduz p(x). Escrevendo isso:
a\bigl(3+3x+9x^{2}\bigr)+b\bigl(1+3x-x^{2}\bigr)+c\bigl(1+4x-2x^{2}\bigr)= -12-9x-39x^{2}.
Aqui a,b,c são números reais desconhecidos que queremos encontrar. Vou agora igualar os coeficientes dos termos semelhantes ( 1, x, x^{2}) para obter um sistema linear.

Passo 3

Expandindo a soma do lado esquerdo e juntando coeficientes, obtemos um sistema para os coeficientes constantes, de x e de x^{2}:
constante:
3a + b + c = -12,
coeficiente de x:
3a + 3b + 4c = -9,
coeficiente de x^{2}:
9a - b - 2c = -39.

Passo 4

Agora vamos eliminar a para obter um sistema só em b e c. Uma maneira simples é usar combinações lineares:
Multiplicando a primeira equação por 3 temos
9a + 3b + 3c = -36.
Subtraindo a terceira equação \,9a - b - 2c = -39 dessa última, obtemos:
(9a+3b+3c)-(9a - b -2c)= -36 - (-39).
Calculando os termos:
4b + 5c = 3.

Passo 5

Outra eliminação: subtrair a primeira equação da segunda:
(3a+3b+4c) - (3a + b + c) = -9 - (-12).
Isso dá:
2b + 3c = 3.
Agora temos o sistema em b,c:
\begin{cases} 2b + 3c = 3,\\[4pt] 4b + 5c = 3. \end{cases}]

Passo 6

Resolvendo esse sistema: multiplica-se a primeira equação por 2 e subtrai-se a segunda:
4b + 6c = 6
subtraindo
(4b+6c)-(4b+5c)=6-3
resulta em
c = 3.

Passo 7

Se quiser confirmar (não exigido, mas bom para checar): com c=3, da equação 2b+3c=3 temos
2b + 3\cdot 3 = 3 \quad\Rightarrow\quad 2b +9 =3 \quad\Rightarrow\quad b = -3.
E pela primeira equação 3a + b + c = -12:
3a -3 +3 = -12 \quad\Rightarrow\quad 3a = -12 \quad\Rightarrow\quad a = -4.
Verificação rápida nas outras equações confirma que (a,b,c)=(-4,-3,3) satisfaz todo o sistema.

Resposta

E) (3)

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